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| Aufgabe | | Ist [mm] 4^{545} [/mm] + [mm] 545^{4} [/mm] eine Primzahl? |
Hallo,
ich habe ein Problem mit der obenstehenden Aufgabe. Wie löse ich diese ich habe leider noch nicht einmal einen Ansatz, da die Lösung auch relativ einfach sein sollte, also so dass sie Schüler verstehen könnten.
Kann mir jemand weiterhelfen?
Danke schonmal...
Lg Tanja
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:10 Sa 21.04.2007 | | Autor: | Volker2 |
Hallo,
die Zahl ist, falls ich mich nicht verrechnet habe, durch 3 teilbar (und offenbar [mm] \neq [/mm] 3) und also nicht prim. Zeige am besten, dass die Zahl 0 modulo 3 ist.
Volker
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:31 Sa 21.04.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo,
> die Zahl ist, falls ich mich nicht verrechnet habe, durch 3
> teilbar (und offenbar [mm]\neq[/mm] 3) und also nicht prim. Zeige am
> besten, dass die Zahl 0 modulo 3 ist.
laut MAPLE ist [mm] $4^{545} [/mm] + [mm] 545^4 \equiv [/mm] 2 [mm] \pmod{3}$. [/mm] Einen kleinen Primfaktor scheint [mm] $4^{545} [/mm] + [mm] 545^4$ [/mm] nicht zu haben...
Man kann allerdings den Satz von Euler benutzen: Wenn $p$ eine Primzahl ist, dann gilt [mm] $a^p \equiv [/mm] a [mm] \pmod{p}$ [/mm] fuer alle Zahlen $a$, die teilerfremd zu $p$ sind.
Wenn man hier $a = 2$ und $p = [mm] 4^{545} [/mm] + [mm] 545^4$ [/mm] nimmt und [mm] $a^p \mod [/mm] p$ berechnet, kommt was ziemlich grosses raus, also definitiv nicht 2. Von Hand sollte man das allerdings nicht machen :)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:27 Sa 21.04.2007 | | Autor: | Volker2 |
Hallo Felix,
Du und MAPLE haben recht. Ich habe die Zahlen falsch auf mein Blatt kopiert. Es wird Zeit ins Bett zu gehen...
Volker
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