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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:27 Mi 08.11.2006 | | Autor: | chatty |
| Aufgabe | Sind die folgenden Aussagen richtig? (Beweis oder Gegenbeispiel)
Für a,b >= 1, p prim
a) ist (a,p²)=p => (a²,p²)=p²
b) (a,p²)=p und (b,p²)=p => [mm] (ab,p^4)=p³
[/mm]
c) (a,p²)=p und (b,p²)=p => [mm] (ab,p^4)=p² [/mm] |
Hi,
wie gehts euch? Ich hätte zu dieser Aufgabe eine Frage.
Ich habe gedacht, dass ich für a=6 und p=5 einsetze.
Somit bekomme ich:
(6,5²)=(6,25)=1
(36,25)=1 ist ein Wiederspruch!
Ist das richtig oder geht das Beispiel ganz anders.
Und wenn es richtig ist, sind dann a), b) und c) alle Wiedersprüche?
Danke für eure Hilfe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:19 Do 09.11.2006 | | Autor: | Walde |
hi Andrea,
ist weiss nicht genau, was du mit [mm] (a,p^2)=p [/mm] meinst. Meinst du [mm] ggT(a,p^2)=p [/mm]? Also den grössten gemeinsamen Teiler von a und [mm]p^2[/mm]? Dann ist dein Beispiel keines, denn 1 ist keine Primzahl.
Die a) stimmt, würde ich sagen:
Da p prim ist, hat [mm] p^2 [/mm] folglich nur einen einzigen Primfaktor in seiner Zerlegung. Wenn also [mm] p^2 [/mm] und a gemeinsame Teiler haben, ist es höchstens 1,p oder [mm] p^2. [/mm] Es ist p nach Vorraussetzung. a ist also von der Gestalt
[mm] a= n*p , n\in \IN [/mm], also ist
[mm] a^2=n^2*p^2
[/mm]
Wenn man a quadriert können keine neuen Primfaktoren dazukommen, also ist [mm] p^2 [/mm] der ggT von [mm] p^2 [/mm] und [mm] a^2
[/mm]
b) ist falsch:
a=30=2*3*5
b=15=3*5
p=3
ggT(30,9)=3
ggT(15,9)=3
[mm] ggT(30*15,81)=ggT(2*3^2*5^2,3^4)=3^2
[/mm]
c) ist richtig, denke ich, aus ähnlichen Überlegungen wie oben. Bei der Multiplikation können keine neuen PF auftauchen, die nicht bei a oder b schon vorher waren. Der ggT mit [mm] p^2 [/mm] war jeweils p, dann ist [mm] ggT(ab,p^4)=p^2
[/mm]
Ich denke, dann sogar [mm] ggT(ab,p^k)=p^2 [/mm] für [mm] 2\le k\in\IN
[/mm]
L G walde
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:57 Fr 10.11.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Walde,
> ist weiss nicht genau, was du mit [mm](a,p^2)=p[/mm] meinst. Meinst
> du [mm]ggT(a,p^2)=p [/mm]? Also den grössten gemeinsamen Teiler von
> a und [mm]p^2[/mm]?
Genau. Im Amerikanischen wird mit $(a, b)$ meistens der ggT von $a$ und $b$ bezeichnet.
> Dann ist dein Beispiel keines, denn 1 ist keine Primzahl.
Genau.
> Die a) stimmt, würde ich sagen:
>
> Da p prim ist, hat [mm]p^2[/mm] folglich nur einen einzigen
> Primfaktor in seiner Zerlegung. Wenn also [mm]p^2[/mm] und a
> gemeinsame Teiler haben, ist es höchstens 1,p oder [mm]p^2.[/mm] Es
> ist p nach Vorraussetzung. a ist also von der Gestalt
>
> [mm]a= n*p , n\in \IN [/mm], also ist
mit $(n, p) = 1$
> [mm]a^2=n^2*p^2[/mm]
und wiederum mit [mm] $(n^2, [/mm] p) = 1$.
> Wenn man a quadriert können keine neuen Primfaktoren
> dazukommen, also ist [mm]p^2[/mm] der ggT von [mm]p^2[/mm] und [mm]a^2[/mm]
genau.
> b) ist falsch:
>
> a=30=2*3*5
> b=15=3*5
> p=3
>
> ggT(30,9)=3
> ggT(15,9)=3
> [mm]ggT(30*15,81)=ggT(2*3^2*5^2,3^4)=3^2[/mm]
genau.
> c) ist richtig, denke ich, aus ähnlichen Überlegungen wie
> oben. Bei der Multiplikation können keine neuen PF
> auftauchen, die nicht bei a oder b schon vorher waren. Der
> ggT mit [mm]p^2[/mm] war jeweils p, dann ist [mm]ggT(ab,p^4)=p^2[/mm]
>
> Ich denke, dann sogar [mm]ggT(ab,p^k)=p^2[/mm] für [mm]2\le k\in\IN[/mm]
Genau, das stimmt so auch.
LG Felix
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