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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:22 So 17.10.2010 | | Autor: | cantor |
Hallo zusammen,
nocheinmal würde ich mich über Eure Hilfe sehr freuen:
- Sei ein Primideal p in einem ZPE-Ring gegeben. Dann enthält p ein Primelement.
Für einen Hauptidealring ist das natürlich sofort klar (weil jedes Ideal von der Form (a) mit a prim ist), aber für einen ZPE? Direkt aus der Definition folgt es jedenfalls nicht....
Wie kann man das zeigen?
Vielen Dank Euch!!
cantor
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:41 So 17.10.2010 | | Autor: | felixf |
Moin cantor!
> Hallo zusammen,
>
> nocheinmal würde ich mich über Eure Hilfe sehr freuen:
>
> - Sei ein Primideal p in einem ZPE-Ring gegeben. Dann
> enthält p ein Primelement.
Diese Aussage ist so falsch. Du brauchst, dass $p$ ein Element [mm] $\neq [/mm] 0$ enthaelt.
(In jedem ZPE-Ring ist $(0)$ ein Primideal, aber es enthaelt kein Primelement!)
> Für einen Hauptidealring ist das natürlich sofort klar
> (weil jedes Ideal von der Form (a) mit a prim ist),
Hier benutzt du die voellig falsche Richtung! In einem Hauptidealring muesstest du zeigen: ist $(a)$ ein Primideal, so ist $a$ ein Primelement. Nicht umgekehrt!
> aber
> für einen ZPE? Direkt aus der Definition folgt es
> jedenfalls nicht....
Nunja, so indirekt folgt es auch nicht aus den Definitionen.
Du weisst:
* Ist $P$ ein Primideal und $a [mm] \cdot [/mm] b [mm] \in [/mm] P$, so ist $a [mm] \in [/mm] P$ oder $b [mm] \in [/mm] P$.
* In einem ZPE kannst du jedes Element in ein Produkt von endlich vielen Primelementen zerlegen.
Die erste Aussage kannst du auch etwas allgemeiner zeigen: ist [mm] $a_1 \cdot a_2 \cdots a_n \in [/mm] P$, so gibt es ein $i [mm] \in \{ 1, \dots, n \}$ [/mm] mit [mm] $a_i \in [/mm] P$.
Damit und mit der zweiten Aussage folgt sofort die Behauptung.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:12 So 17.10.2010 | | Autor: | cantor |
Hallo Felix,
danke für die schnelle Antwort!!
Dein Beweis zum ZPE Ring ist klar, danke.
Nicht klar ist mir die Aussage zum Hauptidealring. Ich formuliere nochmal, was ich gemeint hatte:
Sei $A$ ein Hauptidealring, $a$ ein Primdeal in $A$.
Dann gilt (nach einem Lemma zur Hauptidealring): $a = (p)$ für ein Primelement $p$
Somit enthält $a$ ein Primelement, nämlich $p$.
Anders gefragt: Es gilt doch folgendes:
Sei A Hauptidealring. Dann
$a$ Primdeal ungleich $0$ [mm] $\gdw [/mm] a = (p)$ mit $p$ Primelement
oder nicht?
Grüße,
cantor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:24 So 17.10.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Nicht klar ist mir die Aussage zum Hauptidealring. Ich
> formuliere nochmal, was ich gemeint hatte:
>
> Sei [mm]A[/mm] ein Hauptidealring, [mm]a[/mm] ein Primdeal in [mm]A[/mm].
> Dann gilt (nach einem Lemma zur Hauptidealring): [mm]a = (p)[/mm]
> für ein Primelement [mm]p[/mm]
> Somit enthält [mm]a[/mm] ein Primelement, nämlich [mm]p[/mm].
>
> Anders gefragt: Es gilt doch folgendes:
>
> Sei A Hauptidealring. Dann
> [mm]a[/mm] Primdeal ungleich [mm]0[/mm] [mm]\gdw a = (p)[/mm] mit [mm]p[/mm] Primelement
>
> oder nicht?
Ja, das gilt.
Du hattest aber nur die eine Richtung erwaehnt, und zwar nicht die, die bei der Aufgabe weiterhilft.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:14 Mo 18.10.2010 | | Autor: | cantor |
alles klar, danke!
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