Primideal < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:54 Fr 13.10.2006 | | Autor: | Denny22 |
| Aufgabe | [mm] $V\subset\IQ$ [/mm] Bewertungsring von [mm] $\IQ$
[/mm]
$I$ maximales Ideal von $V$
Da nun [mm] $1\in V\Rightarrow\IZ\subset [/mm] V$
Daher ist [mm] $\IZ\cap [/mm] I$ ein Primideal von [mm] $\IZ$ [/mm] |
Hallo an alle,
kurze Frage: Ich finde keine plausible Erklärung dafür, dass
[mm] $\IZ\cap [/mm] I$
ein Primideal ist. Kann mir einer erklären, wieso das so sein muss?
Ich danke euch.
Denny
P.S.: Diese Frage wurde in keinem anderen Forum und auf keiner anderen Seite gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:15 Sa 14.10.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Denny!
> [mm]V\subset\IQ[/mm] Bewertungsring von [mm]\IQ[/mm]
> [mm]I[/mm] maximales Ideal von [mm]V[/mm]
> Da nun [mm]1\in V\Rightarrow\IZ\subset V[/mm]
> Daher ist [mm]\IZ\cap I[/mm]
> ein Primideal von [mm]\IZ[/mm]
> Hallo an alle,
>
> kurze Frage: Ich finde keine plausible Erklärung dafür,
> dass
>
> [mm]\IZ\cap I[/mm]
>
> ein Primideal ist. Kann mir einer erklären, wieso das so
> sein muss?
Dies ist ein Spezialfall von folgender, viel allgemeinerer Behaputung: Seien $R$ und $S$ zwei Ringe mit $R [mm] \subseteq [/mm] S$, und sei $P$ ein Primideal in $S$. Dann ist $P [mm] \cap [/mm] R$ ein Primideal in $R$.
Das folgt ganz einfach aus der Primidealeigenschaft: Ein Ideal $P [mm] \subseteq [/mm] R$ eines Ringes $R$ ist genau dann ein Primideal, wenn fuer alle $a, b [mm] \in [/mm] R$ aus $a b [mm] \in [/mm] P$ folgt $a [mm] \in [/mm] P$ oder $b [mm] \in [/mm] P$.
Wenn die Eigenschaft nun fuer alle $a, b [mm] \in [/mm] S$ gilt fuer $P$, dann sicher auch fuer alle $a, b [mm] \in [/mm] R$ mit $P [mm] \cap [/mm] R$ (da $a b [mm] \in [/mm] R$ ist).
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:40 Sa 14.10.2006 | | Autor: | Denny22 |
Danke,
ist ja eigentlich ganz einfach gewesen.
Ciao
|
|
|
|
