(Prim)ideale, max. Ideale < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:27 Di 05.12.2006 | | Autor: | Moe007 |
| Aufgabe | Sei f: A [mm] \to [/mm] B ein komm. Ringhom.
Zeige:
a) Ist I [mm] \subset [/mm] B ein Ideal, so auch [mm] f^{-1}(I) \subset [/mm] A.
Ist I ein Primideal, so ist auch [mm] f^{-1}(I) [/mm] ein Primideal. Gilt die analoge Aussage auch für max. Ideale?
b) Ist f surketiv mit Kern J, dann sind die Ringe A/J und B isomorph, und die Abb. I [mm] \mapsto f^{-1}(I) [/mm] ist eine Bijektion zw. den Idealen von B und den Idealen von A, die J enthalten.
Das Ideal [mm] f^{-1}(I) [/mm] ist ein Primideal von A gdw I ein Primideal von B ist.
(D.h. die Einschränkung der Abb. I [mm] \mapsto f^{-1}(I) [/mm] auf die Menge der Primideale von B ist eine Bijektion zw. den Primidealen von B und den Primelementen von A, die J enthalten)
c) Wenn f surjektiv ist und der Kern J von f nur aus nilpotenten Elementen besteht, d.h. [mm] \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] J [mm] \exists [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] a^{n} [/mm] = 0, dann ist P [mm] \mapsto f^{-1}(P) [/mm] sogar eine Bijektion zw. allen Primidealen von B und allen Primidealen von A.
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Hallo,
ich habe einige Schwierigkeiten bei der Aufgabe und hoffe, dass mir jemand helfen kann. Dafür wäre ich sehr dankbar. Ich komm einfach allein nicht weiter.
zu a)
Da I [mm] \subset [/mm] B ein Ideal ist, ist I eine Untergruppe von (B,+), und für a [mm] \in [/mm] I, b [mm] \in [/mm] B, ist ab [mm] \in [/mm] I.
Nun ist ja z.z.: [mm] f^{-1}(I) \subset [/mm] A ist auch Ideal.
Das hab ich so versucht:
Annahme: [mm] \exists [/mm] s [mm] \in f^{-1}(I): [/mm] f(s) = a
[mm] \exists [/mm] t [mm] \in [/mm] A: f(t) = b
Dann muss man doch zeigen, dass [mm] f^{-1}(a) f^{-1}(b) [/mm] = st [mm] \in f^{-1}(I) [/mm] oder?
Aber ich weiß leider nicht, wie ich das anfangen soll. Hab mal so angefangen: [mm] f^{-1}(ab) [/mm] = [mm] f^{-1}(f(s) [/mm] f(t)) [mm] f^{-1}(f(st))= [/mm] st = [mm] f^{-1}(a) f^{-1}(b) [/mm]
Aber wie zeig ich, dass [mm] f^{-1}(I) [/mm] ein Ideal ist? Wie folgt das daraus?
Wenn jetzt I ein Primideal, heißt es doch [mm] \forall [/mm] (a,b) [mm] \in B^{2}: [/mm] a*b [mm] \in [/mm] I [mm] \Rightarrow [/mm] a [mm] \in [/mm] I oder b [mm] \in [/mm] I.
Beweis: Sei o.E. a [mm] \in [/mm] I und st= [mm] f^{-1}(a) f^{-1}(b) \in [/mm] I. Aus dem oben gezeigten, folgt doch dass [mm] f^{-1}(a) \in f^{-1}(I) [/mm] ist.
ALso ist [mm] f^{-1}(I) [/mm] Primideal oder?
Ich hab Probleme, wo z.z. ist, ob das auch für max. Ideale gilt. Ich vermute mal nein  , aber wie kann ich denn sowas zeigen?
Wir haben in der Vorlesung gelernt, dass äquivalent zu I [mm] \subset [/mm] B max. ist, ist die Aussage B/I ist ein Körper. Muss ich diese Äquivalenz hier anwenden?
zu b)
Der Kern(f) = J = {a [mm] \in [/mm] A | f(a) = [mm] e_{B} [/mm] }
Irgendwie erinnert mich die Aufgabe an den Homomorphiesatz. Ich weiß aber nicht, wie ich den hier verwenden soll, um z.z. dass A/J und B isomorph sind.
Und wie kann ich zeigen, dass die Abb. I [mm] \mapsto f^{-1}(I) [/mm] eine Bijektion zw. den Idealen von B und A ist?
Weil wenn man das hinkriegt, denk ich, dass man das auch für die Primideale zeigen kann.
zu c)
Ich versteh nicht hier, was die Menge P sein soll? Ist das die Menge der nilpotenten Elemente?
Ich versteh bei der b) und c) nicht, wie man immer diese Bijektion zeigen soll. Hier sind mir ja keine genauen Abb. geg., so dass ich das mit Injektivität und Surjektivität zeigen kann.
Ich hoffe, es kann mir jemand helfen, irgendwie blick ich da grad überhaupt nicht durch :-(
Viele Grüße,
Moe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:07 Do 07.12.2006 | | Autor: | Moe007 |
Hallo,
kann mir jemand bitte weiter helfen bei der Aufgabe. Weiß, dass es viel ausschaut, aber es geht hauptsächtlich um Ideale und Primideale.....
Ich würde mich freuen, wenn mir jemand Tipps geben könnte, wie ich bei den Beweisen vorgehen kann. Ich versteh das nicht so ganz, wie man das mit den Bjiektionen zeigen kann.
Danke schonmal!!
VG, Moe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:41 Di 12.12.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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