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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:50 Mo 10.05.2010 | | Autor: | icarus89 |
| Aufgabe | Sei [mm] d:\IRx\IR \to \IR^{+}_{0}
[/mm]
[mm] d(x,y)=|\bruch{x}{\wurzel{x^{2}+1}}-\bruch{y}{\wurzel{y^{2}+1}}|
[/mm]
1) Zeige, dass d eine Metrik auf [mm] \IR [/mm] ist.
2) Zeige, dass [mm] (\IR,d) [/mm] abgeschlossen, beschränkt aber nicht kompakt ist.
3) Ist [mm] \IR [/mm] in dieser Metrik präkompakt? D. h.: Existieren für alle [mm] \varepsilon>0 x_{1},...,x_{n}\in \IR, [/mm] sodass [mm] \IR=\bigcup_{i=1}^{n}B(x_{i},\varepsilon) [/mm] |
Heyho
1) ist ja nur blödes Nachrechnen, 2) auch klar (ich hoffe doch, dass Abgeschlossenheit so banal ist, wie ich das denke: [mm] \emptyset [/mm] ist offen)
aber 3):
Mmmh... Für alle [mm] \varepsilon>0???
[/mm]
Auf jeden Fall existieren welche..., z. B. [mm] \varepsilon=2 [/mm] xD
Aber nach meiner Intention hätte ich ja zuerst gedacht, dass [mm] \IR [/mm] nicht präkompakt ist. Lag aber wohl falsch, wie ich jetzt denke, nachdem ich ein paar Abstände ausgerechnet habe...
Fragt sich nur, wie man so eine offene Überdeckung zu wählen hat...
Oder treten da doch Probleme auf, die ich nicht sehe?
Man kann ja erstmal [mm] y_{0}\in \IR^{+} [/mm] derart wählen, dass [mm] B(y_{0},\varepsilon) [/mm] und [mm] B(-y_{0},\varepsilon) \IR\backslash(-y_{0},y_{0}) [/mm] komplett enthalten. Die Frage ist nur, was ist mit dem Rest...
Das ist dann ja nicht mehr so viel. Also sollte das schon möglich sein, dass noch mit endlich vielen Bällen zu überdecken...
Aber ich weiß noch nicht mal, wie ich das überhupt beweisen will, dass so ein [mm] y_{0} [/mm] existiert...
Naja jedenfalls könnte man das Stück von [mm] -y_{0} [/mm] bis [mm] y_{0} [/mm] ja aufteilen in Stückchen, die [mm] \varepsilon [/mm] groß sind. Also zusätzlich noch die Bälle um [mm] -y_{0}+k*\varepsilon, [/mm] für [mm] k\in \IN [/mm] bis das größer ist als [mm] y_{0}, [/mm] denn der euklidische Abstand ist doch wohl größer als die angegebene Metrik, oder?
Davon gibt es ja nur endlich viele. Und das wärs?
Das ist nur so kompliziert und das zu beweisen...
Geht das vielleicht irgendwie einfacher?
Liebe Grüße
icarus89
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:52 Mo 10.05.2010 | | Autor: | gfm |
> Sei [mm]d:\IRx\IR \to \IR^{+}_{0}[/mm]
>
> [mm]d(x,y)=|\bruch{x}{\wurzel{x^{2}+1}}-\bruch{y}{\wurzel{y^{2}+1}}|[/mm]
>
> 1) Zeige, dass d eine Metrik auf [mm]\IR[/mm] ist.
> 2) Zeige, dass [mm](\IR,d)[/mm] abgeschlossen, beschränkt aber
> nicht kompakt ist.
> 3) Ist [mm]\IR[/mm] in dieser Metrik präkompakt? D. h.: Existieren
> für alle [mm]\varepsilon>0 x_{1},...,x_{n}\in \IR,[/mm] sodass
> [mm]\IR=\bigcup_{i=1}^{n}B(x_{i},\varepsilon)[/mm]
> Heyho
>
> 1) ist ja nur blödes Nachrechnen, 2) auch klar (ich hoffe
> doch, dass Abgeschlossenheit so banal ist, wie ich das
> denke: [mm]\emptyset[/mm] ist offen)
> aber 3):
> Mmmh... Für alle [mm]\varepsilon>0???[/mm]
> Auf jeden Fall existieren welche..., z. B. [mm]\varepsilon=2[/mm]
> xD
> Aber nach meiner Intention hätte ich ja zuerst gedacht,
> dass [mm]\IR[/mm] nicht präkompakt ist. Lag aber wohl falsch, wie
> ich jetzt denke, nachdem ich ein paar Abstände
> ausgerechnet habe...
> Fragt sich nur, wie man so eine offene Überdeckung zu
> wählen hat...
> Oder treten da doch Probleme auf, die ich nicht sehe?
>
> Man kann ja erstmal [mm]y_{0}\in \IR^{+}[/mm] derart wählen, dass
> [mm]B(y_{0},\varepsilon)[/mm] und [mm]B(-y_{0},\varepsilon) \IR\backslash(-y_{0},y_{0})[/mm]
> komplett enthalten. Die Frage ist nur, was ist mit dem
> Rest...
> Das ist dann ja nicht mehr so viel. Also sollte das schon
> möglich sein, dass noch mit endlich vielen Bällen zu
> überdecken...
> Aber ich weiß noch nicht mal, wie ich das überhupt
> beweisen will, dass so ein [mm]y_{0}[/mm] existiert...
Die Funktion [mm] f:\IR\to [/mm] (-1,1); [mm] x\mapsto x/\wurzel(1+x^2) [/mm] ist streng monoton steigend. Dewegen sollte [mm] f(y)=1-\epsilon [/mm] für hinreichend kleine [mm] \epsilon>0 [/mm] immer eine Lösung besitzen. Nennen wir diese [mm] y_\epsilon. [/mm] Es gilt dann [mm] d(x,y_\epsilon)=|\bruch{x}{\wurzel{x^{2}+1}}-(1-\epsilon)|=|\epsilon-(1-\bruch{x}{\wurzel{x^{2}+1}})|<\epsilon [/mm] auf jeden Fall für [mm] x>=y_\epsilon, [/mm] da [mm] f(y_\epsilon)=1-\epsilon, [/mm] f streng monoton steigend und f<1 gilt. Analog für negative x.
>
> Naja jedenfalls könnte man das Stück von [mm]-y_{0}[/mm] bis [mm]y_{0}[/mm]
> ja aufteilen in Stückchen, die [mm]\varepsilon[/mm] groß sind.
> Also zusätzlich noch die Bälle um [mm]-y_{0}+k*\varepsilon,[/mm]
> für [mm]k\in \IN[/mm] bis das größer ist als [mm]y_{0},[/mm] denn der
> euklidische Abstand ist doch wohl größer als die
> angegebene Metrik, oder?
> Davon gibt es ja nur endlich viele. Und das wärs?
> Das ist nur so kompliziert und das zu beweisen...
> Geht das vielleicht irgendwie einfacher?
[mm] d(x_0,x) [/mm] ist der Zuwachs von f auf [mm] [x_0,x]. [/mm] Wenn wir nun endlich viele [mm] x_n [/mm] suchen, so dass die x, die jeweils [mm] d(x_n,x)<\epsilon [/mm] erfüllen, den Rest überdecken, muss man nur das Intervall von [mm] [0,1-\epsilon] [/mm] geeignet zerlegen und die Urbilder bestimmen.
LG
gfm
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Hallo,
kann eine Metrik, die folgendermaßen definiert ist präkompakt sein:
d: [mm] \IR [/mm] x [mm] \IR \to [/mm] [0, [mm] \infty), [/mm] d(x,y) [mm] =|\bruch{x}{\wurzel{x²+1}} [/mm] - [mm] \bruch{y²}{\wurzel{y²+1}}|
[/mm]
Ich glaube nicht, weil die Zielmenge nach oben nicht beschränkt ist und es somit keine endliche Anzahl an [mm] \varepsilon-Kugeln [/mm] gibt, die jede Teilmenge von X überdeckt. Aber ich weiß nicht, ob ich das so richtig verstanden habe und falls ja wie ich das beweisen kann.
LG
Niemand
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:17 Mo 10.05.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> kann eine Metrik, die folgendermaßen definiert ist
> präkompakt sein:
> d: [mm]\IR[/mm] x [mm]\IR \to[/mm] [0, [mm]\infty),[/mm] d(x,y)
> [mm]=|\bruch{x}{\wurzel{x²+1}}[/mm] - [mm]\bruch{y²}{\wurzel{y²+1}}|[/mm]
Ich hab das mal zu einer fast identischen Aufgabe verschoben 
Pass uebrigens auf, dass du [mm] $x^2$ [/mm] und nicht $x²$ schreibst -- das zweite ist naemlich nicht das, was du denkst.
> Ich glaube nicht, weil die Zielmenge nach oben nicht
> beschränkt ist und es somit keine endliche Anzahl an
> [mm]\varepsilon-Kugeln[/mm] gibt, die jede Teilmenge von X
> überdeckt. Aber ich weiß nicht, ob ich das so richtig
> verstanden habe und falls ja wie ich das beweisen kann.
Nun, die Menge ist sehr wohl nach oben beschraenkt. Schau dir das mal genauer an!
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:48 Mo 10.05.2010 | | Autor: | gfm |
Diese Metrik ist im wesentlichen durch den Zuwachs der Funktion [mm] f(x)=x/\wurzel{x^2+1}=\operatorname{sgn}(x)/\wurzel{1+1/x^2}, [/mm] welche den Abstand von [mm] x,y\in\IR [/mm] für beliebig große (im gewöhnlichen Sinne) x,y auf endliche Abstände komprimiert, da [mm] f\in(-1,1), [/mm] streng monoton steigend und der Zuwachs für im üblichen Sinne große Argumente verschwindet.
LG
gfm
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Sry, komm mir gerade ein bisschen blöd vor, aber so richtig versteh ich das nicht...
Für die Metrik gilt [mm] 0\le [/mm] d(x,y)<2, also finde ich keine endliche Anzahl an [mm] \varepsilon-Kugeln, [/mm] die [mm] \IR [/mm] überdecken. Aber ich glaube das ist da falsch liege.
Ich bin gerade nochmal die Vorlesung durchgegangen und habe in Büchern durchgeblättert. Eine andere Möglichkeit ist zu zeigen, dass jede Folge im metr. Raum eine konvergente Teilfolge besitzt.... (aber ich wüsste auch nicht wie ich das zeigen kann)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:27 Di 11.05.2010 | | Autor: | gfm |
> Sry, komm mir gerade ein bisschen blöd vor, aber so
> richtig versteh ich das nicht...
> Für die Metrik gilt [mm]0\le[/mm] d(x,y)<2, also finde ich keine
> endliche Anzahl an [mm]\varepsilon-Kugeln,[/mm] die [mm]\IR[/mm] überdecken.
> Aber ich glaube das ist da falsch liege.
Na, ich glaube die Dinge müssen einfach nur an den richtigen Platz gestellt werden:
Es geht um einen metrischen Raum (X,d) mit [mm] X:=\IR [/mm] und d(x,y):=|f(y)-f(x)| wobei [mm] f(x)=x/\wurzel{1+x^2}. [/mm] Man darf nun nicht die übliche Metrik [mm] |y-x|\in [0,\infty) [/mm] mit dem hier gegebenen [mm] d\in[0,2) [/mm] durcheinanderwürfeln. In der üblichen Metrik ist f(x)=x und damit sind die y im [mm] \epsilon-Ball [/mm] von der Form [mm] (x-\epsilon,x+\epsilon), [/mm] also eben "lokalisiert" um x herum im üblichen Sinne.
Hier nun aber muss gelten [mm] |y/\wurzel{1+y^2}-x/\wurzel{1+x^2}|<\epsilon. [/mm] Also [mm] |y/\wurzel{1+y^2}-f(x)|<\epsilon. [/mm] Und wenn du nun die y bestimmst, wirst Du sehen, dass wenn x so gewählt wurde, dass [mm] f(x)=1-\epsilon [/mm] gilt, der Ball ziemlich "groß" wird. :)
LG
gfm
> Ich bin gerade nochmal die Vorlesung durchgegangen und
> habe in Büchern durchgeblättert. Eine andere Möglichkeit
> ist zu zeigen, dass jede Folge im metr. Raum eine
> konvergente Teilfolge besitzt.... (aber ich wüsste auch
> nicht wie ich das zeigen kann)
Ich glaube das läuft auf ähnliches hinaus: Wenn eine Folge eine Cauchy-Teilfolge enthält bezüglich der normalen Metrik, dann auch hier, da [mm] f\in(-1,1) [/mm] und f stetig ist. Es ginge meines erachtens also nur um die Folgen, die bezüglich der normalen Metrik keine Cauchy-Teilfolgen enthalten und das sind die, die bezüglich der normalen Metrik nicht beschränkt sind. Nun gilt aber hier, dass der gesamte Raum sich in einem 1-Ball um die 0 herum befindet...
LG
gfm
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