Potenzreihenentwicklung < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:09 Mi 08.09.2010 | | Autor: | bOernY |
| Aufgabe | | a) Für welche [mm] $x\in\IR$ [/mm] ist die Funktion [mm] $f(x)=x-x^3+x^4-x^7+x^9-+... [/mm] definiert? Berechnen Sie den Wert für [mm] $x=\bruch{2}{3}$ [/mm] und geben Sie einen gebrochenen rationalen Term für $f(x)$ an. |
Es handelt sich bei dieser Aufgabe um eine Aufgabe einer Altklausur meines Professors.
Allerdings kann ich nicht wirklich etwas damit anfangen.
Also als erstes soll ich den Definitionsbereich angeben, oder irre ich mich da?
Ich kann mir das irgendwie nicht vorstellen, da es doch trivial ist.
Im zweiten Teil der Aufgabe soll ich dann den Wert für $x$ einsetzen und sagen was als Summenwert rauskommt?
Der letzte Teil der Aufgabe leuchtet mir ein.
Könnt ihr mir ein bisschen auf die Sprünge helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:07 Mi 08.09.2010 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> a) Für welche [mm]$x\in\IR$[/mm] ist die Funktion
> [mm]$f(x)=x-x^3+x^4-x^7+x^9-+...[/mm] definiert? Berechnen Sie den
> Wert für [mm]$x=\bruch{2}{3}$[/mm] und geben Sie einen gebrochenen
> rationalen Term für $f(x)$ an.
> Es handelt sich bei dieser Aufgabe um eine Aufgabe einer
> Altklausur meines Professors.
> Allerdings kann ich nicht wirklich etwas damit anfangen.
> Also als erstes soll ich den Definitionsbereich angeben,
> oder irre ich mich da?
nein, Du irrst Dich nicht.
> Ich kann mir das irgendwie nicht vorstellen, da es doch
> trivial ist.
Nein, es ist zwar einfach, aber nicht trivial. Dort steht eine Funktion der Bauart
[mm] $$f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n (x-x_0)^n\,,$$
[/mm]
welches eine ![[]](/images/popup.gif) Potenzreihe ist. (Bei Dir ist bspw. [mm] $x_0=0$ [/mm] und [mm] $a_0=0\,,$ $a_1=1\,,$ $a_2=0\,,$ $a_3=-1$... [/mm] )
[Einschub: "Einfacher", wobei das aber auch grundlegend für Potenzreihen (und den dort auftauchenden Begriffen wie Konvergenzradius, Konvergenzkreis....) ist, geht es "direkt" mit der geometrischen Reihe (bzw. geometrischen Summfenformel), welche im P.S. unten Erwähnung findet.]
Der "(maximale) Definitionsbereich" ist dann diejenige Teilmenge $D [mm] \subseteq \IR$ [/mm] so, dass [mm] $\sum_{n=0}^\infty a_n (x-x_0)^n$ [/mm] für genau jene $x [mm] \in [/mm] D$ konvergiert (wobei bei Dir speziell die Folge [mm] $(a_n)_{n \in \IN_0}$ [/mm] durch Angabe aller Folgenglieder angegeben werden kann, und [mm] $x_0=0$ [/mm] ist). Durch Berechnung des Konvergenzradius erhältst Du sicher schonmal eine offene Menge (ein offenes Intervall), auf der die rechte Seite von [mm] $f(x)\,$ [/mm] eine konvergente Reihe ist. Schließt Du diese Menge (dieses offene Intervall) ab und nimmst das Komplement des Abschlusses und daraus nun ein [mm] $x\,$, [/mm] so wird die rechte Seite von [mm] $f(x)\,$ [/mm] divergieren.
Es bleiben aber noch die Randwerte separat zu untersuchen (Du wirst hier sehen, dass Du dann noch die Fälle [mm] $x=\pm1$ [/mm] separat zu untersuchen haben wirst - es ist fast banal zu sehen, dass in beiden Fällen die Reihe rechterhand divergiert - denn notwendig für die Konvergenz einer Reihe ist mal mindestens, dass die Folge der Summanden gegen [mm] $0\,$ [/mm] strebt...)!
> Im zweiten Teil der Aufgabe soll ich dann den Wert für [mm]x[/mm]
> einsetzen und sagen was als Summenwert rauskommt?
> Der letzte Teil der Aufgabe leuchtet mir ein.
>
> Könnt ihr mir ein bisschen auf die Sprünge helfen?
Dann würde ich erst den letzten Teil der Aufgabe behandeln, und danach den Wert von [mm] $f(x)\,$ [/mm] für $x=2/3$ berechnen - es sei denn, Du willst unendlich viele Summanden addieren (was in endlicher Zeit offenbar unmöglich ist).
P.S.:
Die Aufgabe geht eigentlich sogar noch einfacher, als mit Potenzreihenentwicklung - bzw. mit einer "Basisaussage", die man für die Potenzreihenentwicklung benutzt bzw. benötigt. Dazu schaue Dir mal die geometrische Reihe an.
Sollte es bei Dir oben ein Verschreiber sein, und da in Wahrheit
[mm] $$f(x)=x-x^3+x^\green{5}-x^7+x^9-+...$$
[/mm]
stehen, so kannst Du
[mm] $$f(x)=x*(x^0-x^2+x^4-x^6+...)=x*\sum_{k=0}^\infty (-x^2)^k$$
[/mm]
schreiben, was Dir schnell weiterhelfen sollte. (Notfalls substituiere noch [mm] $z:=-x^2$ [/mm] und schau' nochmal bzgl. der geometrischen Reihe nach - $|z| < 1$ ist hier gleichbedeutend mit [mm] $|-x^2|=|x|^2 [/mm] < 1$ bzw. damit auch mit $|x| < [mm] 1\,.$)
[/mm]
Sollte es kein Vertipper sein, und da wirklich
[mm] $$f(x)=x-x^3+x^\red{4}-x^7+x^9-+...$$
[/mm]
stehen, so bietet es sich (wegen dem direkt hier drüberstehenden) an,
[mm] $$f(x)-x^4+x^5=x-x^3+x^\green{5}-x^7+x^9-+...$$
[/mm]
zu benutzen.
Beste Grüße,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:52 Mi 08.09.2010 | | Autor: | bOernY |
Hallo!
Danke das hat mir schonmal sehr geholfen.
Allerdings verstehe ich das mit dem Definitionsbereich nicht 100%ig.
Für mich ist der Definitionsbereich die $x$-Werte, die man in die Funktion einsetzen "darf/kann". Somit Alle Werte bis auf den Definitionslücken.
Und bei der Funktion in dieser Aufgabe kann man doch theoretisch jeden $x$-Wert einsetzen.
Somit würde für mich der Definitionsbereich von minus bis plus unendlich gehen.
Kannst du das eventuell nochmal etwas erläutern?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:30 Do 09.09.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo!
>
> Danke das hat mir schonmal sehr geholfen.
> Allerdings verstehe ich das mit dem Definitionsbereich
> nicht 100%ig.
> Für mich ist der Definitionsbereich die [mm]x[/mm]-Werte, die man
> in die Funktion einsetzen "darf/kann". Somit Alle Werte bis
> auf den Definitionslücken.
> Und bei der Funktion in dieser Aufgabe kann man doch
> theoretisch jeden [mm]x[/mm]-Wert einsetzen.
> Somit würde für mich der Definitionsbereich von minus
> bis plus unendlich gehen.
>
> Kannst du das eventuell nochmal etwas erläutern?
klar. Dazu aber zunächst zwei Fragen an Dich:
1.) Weißt Du, was der Grenzwert einer (konvergenten) Folge ist? Soll heißen: Sagen Dir Begriffe wie Konvergenz und Divergenz etwas? Andernfalls wird das ganze für Dich etwas "mühselig" zu verstehen sein!
2.) Eine Reihe [mm] $\sum_{k=0}^\infty a_k$ [/mm] ist erstmal nichts anderes als eine andere Schreibweie für die Folge (ihrer Teilsummen) [mm] $(s_n)_{n \in \IN_0}$ [/mm] mit
[mm] $$s_n:=\sum_{k=0}^n a_k\,,$$
[/mm]
und nur falls diese Reihe konvergiert, schreibt man auch [mm] $\sum_{k=0}^\infty a_k$ [/mm] für den Grenzwert [mm] $\lim_{n \to \infty}s_n$ [/mm] - das Symbol [mm] $\sum_{k=0}^\infty a_k$ [/mm] hat dann also zwei Bedeutungen, wobei sich dann (immer) aus dem Kontext ergibt (ergeben möge oder solle), welche Bedeutung nun gemeint ist.
Nun nehmen wir mal nicht Deine Funktion, sondern "fast" Deine Funktion - sozusagen das "Standardbeispiel", auf dem Begriffe bzgl. Potenzreihen aufbauen.
Wir betrachten die Funktion
[mm] $$f(x)=\sum_{k=0}^\infty x^k\,.$$
[/mm]
(Also die geometrische Reihe.)
Die Funktion [mm] $f\,$ [/mm] ist genau für jene $x [mm] \in \IR$ [/mm] (als Funktion [mm] $\IR \to \blue{\IR}$) [/mm] definiert, für die die rechte Seite eine (in [mm] $\blue{\IR}$) [/mm] konvergente Reihe ergibt. Es ist leicht einzusehen (geometrische Summenformel), dass [mm] $\sum_{k=0}^\infty x^k$ [/mm] genau dann konvergiert, wenn $|x| < [mm] 1\,$ [/mm] gilt.
Denn:
Für $x=1$ ist [mm] $\sum_{k=0}^\infty 1^k$ [/mm] divergent, da die Folge der Summanden hier konstant [mm] $1\,$ [/mm] und damit keine Nullfolge ist.
Weiter:
Für jedes $n [mm] \in \IN_0$ [/mm] gilt (sofern $x [mm] \not=1$ [/mm] ist)
[mm] $$\sum_{k=0}^n x^k=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}\,,$$
[/mm]
woraus dann auch schon alles folgt, da die Folge [mm] $(s_n(x))_n$ [/mm] mit
[mm] $$s_n(x)=\sum_{k=0}^n x^k$$
[/mm]
somit
[mm] $$s_n(x)=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}$$
[/mm]
erfüllt, woraus sich obige Behauptung sofort ergibt.
Damit Du das vielleicht auch nochma ein wenig deutlicher siehst, dass die obige Reihe für andere [mm] $x\,$ [/mm] divergiert:
1.) Betrachten wir [mm] $x=1\,,$ [/mm] dann ist
[mm] $$s_0(1)=\sum_{k=0}^0 1^k=1^0=1\,,$$
[/mm]
[mm] $$s_1(1)=\sum_{k=0}^1 1^k=1^0+1^1=2\,,$$
[/mm]
[mm] $$s_2(1)=\sum_{k=0}^2 1^k=1^0+1^1+1^2=3\,,$$
[/mm]
.
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.
also [mm] $s_n(1)=n \to \infty \notin \IR$ [/mm] ($n [mm] \to \infty$), [/mm] was nichts anderes bedeutet, als dass (der Funktionswert) $f(1)$ (als Grenzwert der rechtsstehenden Reihe jedenfalls in [mm] $\IR$) [/mm] nicht existiert.
2.) Betrachten wir [mm] $x=2\,,$ [/mm] dann ist
[mm] $$s_0(2)=\sum_{k=0}^0 2^k=2^0=1\,,$$
[/mm]
[mm] $$s_1(2)=\sum_{k=0}^1 2^k=2^0+2^1=3=\frac{1-2^2}{1-2}\,,$$
[/mm]
[mm] $$s_2(2)=\sum_{k=0}^2 2^k=2^0+2^1+2^2=7=\frac{1-2^3}{1-2}\,,$$
[/mm]
.
.
.
offenbar streng monoton wachsend und nach oben unbeschränkt (was mit [mm] $s_n(x)=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}$ [/mm] leicht beweisbar ist:
Hier ergibt sich ja [mm] $s_n(2)=2^{n+1}-1$(!)). [/mm] Also existiert auch hier
[mm] $$\text{"}f(2)\text{"}=\lim_{n \to \infty}s_n(2)\text{"}=\infty\text{"}$$
[/mm]
nicht in [mm] $\IR\,.$ [/mm]
Dass $f(-1)$ nicht existiert, erkennt man zum einen auch an [mm] $s_n(-1)=\frac{1-(-1)^{n+1}}{1-(-1)}=\frac{1+(-1)^{n}}{2}\,,$ [/mm] bzw. an
[mm] $$s_0(-1)=1\,, s_1(-1)=1-1=0\,, s_2(-1)=1\,, s_3(-1)=1-1=0\,, s_4(-1)=1\,, s_5(-1)=1-1=0\,,...$$
[/mm]
Dabei sieht man, dass [mm] $(s_n(-1))_n$ [/mm] offenbar eine divergente Folge ist. (Die hier übrigens insbesondere auch nicht bestimmt divergiert. In den obigen Fällen hätte man ja vielleicht auch noch [mm] $f\,$ [/mm] als Funktion, die nach [mm] $\IR \cup \{\pm \infty\}$ [/mm] mit [mm] $\pm \infty \notin \IR$ [/mm] abbildet, auffassen können und dann hätte man z.B. mit [mm] $f(1)=\infty$ [/mm] für [mm] $f\,$ [/mm] auch an der Stelle [mm] $1\,$ [/mm] einen, bzgl. dieses Zielbereichs, sinnvollen Wert definiert gehabt. Aber aus [mm] $s_n(x)=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}$ [/mm] erkennt man, dass [mm] $(s_n(x))_n$ [/mm] für $x [mm] \le [/mm] -1$ hier nicht bestimmt gegen [mm] $+\infty$ [/mm] oder [mm] $-\infty$ [/mm] divergieren kann, aber divergent ist. D.h. [mm] $f(x)\,$ [/mm] kann für $x [mm] \le [/mm] 1$ nicht (als Grenzwert der rechtsstehenden Reihe) definiert sein, da diese Reihe stets divergent ist, und zwar sowohl in [mm] $\IR$ [/mm] als auch in [mm] $\IR \cup \{\pm \infty\}$.)
[/mm]
Beste Grüße,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:20 So 19.09.2010 | | Autor: | bOernY |
Ja ich hatte mich bei der Aufgabenstellung verschrieben. Die Funktion, die gegeben ist lautet wie du richtig erkannt hast $ [mm] f(x)=x-x^3+x^5-x^7+x^9-+... [/mm] $
Auch verstanden habe ich die darauf folgende Darstellung der Funktion in einer Reihe, nämlich:
$ [mm] \sum_{k=0}^\infty x\cdot{}(-x^2)^k [/mm] $
Bis jetzt also kein Problem.
So nun muss ich ja um den Definitionsbereich bestimmen.
Dazu finde ich in meiner Formelsammlung zum Thema "Geometrische Reihe", dass eine Geometrische Reihe der Form [mm] $\summe_{n=1}^{\infty} [/mm] a [mm] q^{n-1}$ [/mm] Konvergent ist, wenn gilt: [mm] $\left| q \right|<1$
[/mm]
Also muss doch jetzt einfach die $x$-Werte bestimmen für die diese Potenzreihe konvergiert und das ist dann mein Definitionsbereich, oder?
Jetzt bin ich mir nur nicht sicher ob ich das $q$ richtig erkannt habe. Aber es müsste bei meiner Funktion ja eigentlich [mm] $q=-x^2$ [/mm] sein.
Die Ungleichung sollte demnach [mm] $-x^2<1$ [/mm] sein.
Daraus würde folgen [mm] $x^2>-1$.
[/mm]
Somit wär die Lösungsmenge [mm] $\IL=]\infty_- [/mm] ; [mm] \infty_+[$
[/mm]
Also ist diese Potenzreihe für alle $x$-Werte definiert, oder?
Bei dem zweiten Teil der Aufgabe habe ich einfach folgende Formel für den Grenzwert einer geometrischen Reihe verwendet:
[mm] $\bruch{a}{1-q}$
[/mm]
Laut Aufgabenstellung ist [mm] $x=\bruch{2}{3}$.
[/mm]
Wenn ich mich nicht irre ist $a=x$ und [mm] $q=-x^2$
[/mm]
Der gesuchte gebrochenrationale Term wäre somit:
[mm] $\bruch{x}{1-(-x^2)}$
[/mm]
Dann die Werte eingesetzt:
[mm] $\bruch{\bruch{2}{3}}{1-(-\bruch{2}{3})^2}=\bruch{6}{5}$
[/mm]
Habe ich die Aufgabe nun richtig gelöst?
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Hallo bOernY,
> Ja ich hatte mich bei der Aufgabenstellung verschrieben.
> Die Funktion, die gegeben ist lautet wie du richtig erkannt
> hast [mm]f(x)=x-x^3+x^5-x^7+x^9-+...[/mm]
>
> Auch verstanden habe ich die darauf folgende Darstellung
> der Funktion in einer Reihe, nämlich:
> [mm]\sum_{k=0}^\infty x\cdot{}(-x^2)^k[/mm]
[mm]=x\cdot{}\sum\limits_{k=0}^{\infty}(-x^2)^k[/mm]
>
> Bis jetzt also kein Problem.
> So nun muss ich ja um den Definitionsbereich bestimmen.
> Dazu finde ich in meiner Formelsammlung zum Thema
> "Geometrische Reihe", dass eine Geometrische Reihe der Form
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a q^{n-1}[/mm] Konvergent ist, wenn gilt: [mm]\left| q \right|<1[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Also muss doch jetzt einfach die [mm]x[/mm]-Werte bestimmen für die
> diese Potenzreihe konvergiert und das ist dann mein
> Definitionsbereich, oder?
>
> Jetzt bin ich mir nur nicht sicher ob ich das [mm]q[/mm] richtig
> erkannt habe. Aber es müsste bei meiner Funktion ja
> eigentlich [mm]q=-x^2[/mm] sein.
> Die Ungleichung sollte demnach [mm]-x^2<1[/mm] sein.
Wo ist der Betrag hin?
Es muss doch [mm]\red{|}q\red{|}<1[/mm] sein, also [mm]\left|-x^2\right|<1[/mm]
Also [mm]|x|^2<1[/mm]
Damit [mm]-1
> Daraus würde folgen [mm]x^2>-1[/mm].
> Somit wär die Lösungsmenge [mm]\IL=]\infty_- ; \infty_+[[/mm]
Nee, nee
>
> Also ist diese Potenzreihe für alle [mm]x[/mm]-Werte definiert,
> oder?
>
> Bei dem zweiten Teil der Aufgabe habe ich einfach folgende
> Formel für den Grenzwert einer geometrischen Reihe
> verwendet:
> [mm]\bruch{a}{1-q}[/mm]
>
> Laut Aufgabenstellung ist [mm]x=\bruch{2}{3}[/mm].
> Wenn ich mich nicht irre ist [mm]a=x[/mm] und [mm]q=-x^2[/mm]
>
> Der gesuchte gebrochenrationale Term wäre somit:
> [mm]\bruch{x}{1-(-x^2)}[/mm]
Ja, das ist für [mm]|x|<1[/mm], also für [mm]-1
> Dann die Werte eingesetzt:
> [mm]\bruch{\bruch{2}{3}}{1-(-\bruch{2}{3})^2}=\bruch{6}{5}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Klammern falsch! Da steht nicht [mm] $(-x)^2$ [/mm] sondern [mm] $-x^2$ [/mm] !!
Es ist [mm]1-(-x^2)=1+x^2[/mm]
Was kommt damit heraus?
>
> Habe ich die Aufgabe nun richtig gelöst?
Da sind noch ein paar Ungereimtheiten drin ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:03 So 19.09.2010 | | Autor: | bOernY |
Oh du hast recht... Naja auch kleine Fehler können ganz schnell eine ganze Lösung versauen...
Ja ich habe dann wohl die Betragsstriche verschlammt.
Wie du bereits geschrieben hast, ist die Lösung der Ungleichung:
$-1<x<1$
Somit wäre der Definitionsbereich:
[mm] $Def=\left\{ x\in\IR ; -1
Für [mm] $x=\bruch{2}{3}$ [/mm] ist die Potenzreihe also definiert und ich kann die Formel (diesmal hoffentlich richtig) anwenden:
[mm] $f(x)=\bruch{x}{1-(-x^2)}=\bruch{x}{1+x^2}$
[/mm]
Der Wert der Funktion für [mm] $x=\bruch{2}{3}$ [/mm] wäre dann wie folgt:
[mm] $f(x=\bruch{2}{3}=\bruch{\bruch{2}{3}}{1+(\bruch{2}{3})^2}=\bruch{6}{13}$
[/mm]
Ich hoffe, dass ich diesmal mit meiner Lösung richtig liege.
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Hallo nochmal,
> Oh du hast recht... Naja auch kleine Fehler können ganz
> schnell eine ganze Lösung versauen...
Wohl wahr, wer kennt das nicht ...
>
> Ja ich habe dann wohl die Betragsstriche verschlammt.
> Wie du bereits geschrieben hast, ist die Lösung der
> Ungleichung:
> [mm]-1
>
> Somit wäre der Definitionsbereich:
> [mm]Def=\left\{ x\in\IR ; -1
>
> Für [mm]x=\bruch{2}{3}[/mm] ist die Potenzreihe also definiert und
> ich kann die Formel (diesmal hoffentlich richtig)
> anwenden:
>
> [mm]f(x)=\bruch{x}{1-(-x^2)}=\bruch{x}{1+x^2}[/mm]
>
> Der Wert der Funktion für [mm]x=\bruch{2}{3}[/mm] wäre dann wie
> folgt:
>
> [mm]f(x=\bruch{2}{3}=\bruch{\bruch{2}{3}}{1+(\bruch{2}{3})^2}=\bruch{6}{13}[/mm]
>
> Ich hoffe, dass ich diesmal mit meiner Lösung richtig
> liege.
Jau!
Gruß
schachuzipus
>
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