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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:02 Di 10.02.2009 | | Autor: | jojo1484 |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie die Potenzreihenentwicklung der Funktion [mm] f(x)=\bruch{1}{2+x} [/mm] bzgl. [mm] x_{0}=0 [/mm] |
Das mach ich sicher mit einer Taylorreihe?
Nun muss ich ja erst mal f(x) ein par mal Ableiten.
[mm] f(0)=\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] f'(x)=-1(2+x)^{-2} [/mm]
f'(0) = -0,25
f''(x) = [mm] 2(2+x)^{-3}
[/mm]
f''(0) = 0,25
f'''(x) = [mm] -6(2+x)^{-4}
[/mm]
f'''(0) = [mm] -\bruch{3}{8}
[/mm]
erhalte ich die Reihe
P(x) = [mm] \bruch{1}{2}-\bruch{0,25}{1!}*x [/mm] + [mm] \bruch{0,25}{2!}*x² [/mm] - [mm] \bruch{0,375}{3!}*x³+.....
[/mm]
Ergibt mir dann:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{a*(n-1)*(x+2)^{-n+1}}{n!}x^{n}
[/mm]
oder sieht die Potenzreihe anders aus??
Ich bin mir nicht sicher ob ich die Variable a einführen darf? Darf ich das?
vielen Dank für Eure Hilfe
Gruß Jojo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:14 Di 10.02.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Bestimmen Sie die Potenzreihenentwicklung der Funktion
> [mm]f(x)=\bruch{1}{2+x}[/mm] bzgl. [mm]x_{0}=0[/mm]
> Das mach ich sicher mit einer Taylorreihe?
>
> Nun muss ich ja erst mal f(x) ein par mal Ableiten.
>
> [mm]f(0)=\bruch{1}{2}[/mm]
> [mm]f'(x)=-1(2+x)^{-2}[/mm]
> f'(0) = -0,25
>
> f''(x) = [mm]2(2+x)^{-3}[/mm]
> f''(0) = 0,25
>
> f'''(x) = [mm]-6(2+x)^{-4}[/mm]
> f'''(0) = [mm]-\bruch{3}{8}[/mm]
>
> erhalte ich die Reihe
> P(x) = [mm]\bruch{1}{2}-\bruch{0,25}{1!}*x[/mm] +
> [mm]\bruch{0,25}{2!}*x²[/mm] - [mm]\bruch{0,375}{3!}*x³+.....[/mm]
>
> Ergibt mir dann:
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{a*(n-1)*(x+2)^{-n+1}}{n!}x^{n}[/mm]
>
> oder sieht die Potenzreihe anders aus??
> Ich bin mir nicht sicher ob ich die Variable a einführen
> darf? Darf ich das?
>
>
> vielen Dank für Eure Hilfe
>
> Gruß Jojo
mach's nicht zu kompliziert. Mit Taylorreihe geht's auch (verzeih', ich bin gerade zu faul zum nachrechnen), aber:
[mm] $$\frac{1}{2+x}=\frac{1}{2}*\frac{1}{1-(-x/2)}\,,$$
[/mm]
und mit $z:=-x/2$ gilt
[mm] $$\frac{1}{1-z}=\sum_{k=0}^\infty z^k\;\;\;\text{ für alle } [/mm] |z| < [mm] 1\,,$$
[/mm]
also
[mm] $$\frac{1}{2+x}=\frac{1}{2}*\sum_{k=0}^\infty z^k\,.$$
[/mm]
Jetzt noch $z=-x/2$ resubstituieren und beachten, dass $|z| < 1 [mm] \gdw [/mm] |x| < [mm] 2\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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Hallo Jojo,
neben Marcels eleganter Lösung geht's natürlich mit Taylor auch!
> Bestimmen Sie die Potenzreihenentwicklung der Funktion
> [mm]f(x)=\bruch{1}{2+x}[/mm] bzgl. [mm]x_{0}=0[/mm]
> Das mach ich sicher mit einer Taylorreihe?
>
> Nun muss ich ja erst mal f(x) ein par mal Ableiten.
>
> [mm]f(0)=\bruch{1}{2}[/mm]
> [mm]f'(x)=-1(2+x)^{-2}[/mm]
> f'(0) = -0,25 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> f''(x) = [mm]2(2+x)^{-3}[/mm]
> f''(0) = 0,25
>
> f'''(x) = [mm]-6(2+x)^{-4}[/mm]
> f'''(0) = [mm]-\bruch{3}{8}[/mm]
>
> erhalte ich die Reihe
> P(x) = [mm]\bruch{1}{2}-\bruch{0,25}{1!}*x[/mm] +
> [mm]\bruch{0,25}{2!}*x²[/mm] - [mm]\bruch{0,375}{3!}*x³+.....[/mm]
>
> Ergibt mir dann:
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{a*(n-1)*(x+2)^{-n+1}}{n!}x^{n}[/mm]
Das ist irgendwie falsach zusammengemodelt ...
Die Taylorreihe von f um [mm] $x_0=0$ [/mm] sieht ja so aus [mm] $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\cdot{}x^n$
[/mm]
Schreibe dir die Ableitungen mal allg. auf und setze sie in die Reihe ein, da kürzt sich so ziemlich alles weg.
Es ist [mm] $f^{(n)}(x)=(-1)^n\cdot{}\frac{n!}{(2+x)^{n+1}}$
[/mm]
Das müsstest du streng genommen mit Induktion untermauern
Damit also [mm] $f^{(n)}(0)=(-1)^n\cdot{}\frac{n!}{2^{n+1}}$
[/mm]
Das in die Reihe eingesetzt, kürzt sich die Fakultät schön weg und übring bleibt (nach Ausklammern von [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] die Potenzreihe, die Marcel auch hat.
Fazit: dein Ansatz ist ok, die Zusammenfassung der Reihe komisch 
>
> oder sieht die Potenzreihe anders aus??
> Ich bin mir nicht sicher ob ich die Variable a einführen
> darf? Darf ich das?
>
>
> vielen Dank für Eure Hilfe
>
> Gruß Jojo
>
LG
schachuzipus
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