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| Aufgabe | | Bestimme die Potenzreihenentwicklung von [mm] \bruch{d}{dx} [/mm] arctan(x) = [mm] \bruch{1}{1+x^2} [/mm] an der Stelle [mm] x_{0}=0 [/mm] |
Hallo Leute, also mein Ansatz war erstmal ein paar Ableitungen zu bilden um dann eine allgemeine Ableitungsstruktur zu erkennen. Leider fällt mir da keine genaue Struktur auf.
Also die ersten Ableitungen lauten:
1. Abl: [mm] -\bruch{2x}{(x^2+1)^2}
[/mm]
2. Abl: [mm] \bruch{6x^2-2}{(x^2+1)^3}
[/mm]
3. Abl: [mm] \bruch{-24x^3+24x}{(x^2+1)^4}
[/mm]
4. Abl: [mm] \bruch{120x^4-240x^2+24}{(x^2+1)^5}
[/mm]
5. Abl: [mm] \bruch{-720x^5+2400x^3-720x}{(x^2+1)^6}
[/mm]
Also für den Nenner ist die Vorschrift klar, immer [mm] (x^2+1)^{n+1} [/mm] bei n-ter Ableitung. Bei jeder geraden Abl kommt ein neues Glied dazu, bei jeder ungeraden Abl wechselt das Vorzeichen des Zählers.
Nur wie komme ich auf die Koeffizienten von x ?
Schonmal Danke für Tipps im Vorraus
Gruß Thorsten
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:56 So 27.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
kannst du in (arctanx)' ne geometrische Reihe entdecken?
kannst du die integrieren? oder 1 durch [mm] 1+x^2 [/mm] polynomdivision?
und dann integrieren?
ausserdem ist deine Numerierung falsch: du willst ja arctan entwickeln. da ist die erste Abl. [mm] 1/(1+x^2) [/mm] also 1 bei x=0 , also gibts nur ungerade Exp.
dann schreib mal die ersten paar für x=0 hin, mit dem entsprechenden Nenner, dann siehst du das Bildungsgestz schon!,
Gruss leduart
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danke leduard. ich hab es herausbekommen.
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