Potenzreihenentwicklung < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:02 So 22.04.2007 | | Autor: | Engel205 |
Halli hallo!
Kann mit jemand die Potenzreihenentwicklung an folgendem Beispiel erklären?
Potenzreihenentwicklung von [mm] g(x)=e^{x} [/mm] um [mm] x_{0}= [/mm] 1
Wäre sehr lieb!
MFG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:21 So 22.04.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Kann mit jemand die Potenzreihenentwicklung an folgendem
> Beispiel erklären?
>
> Potenzreihenentwicklung von [mm]g(x)=e^{x}[/mm] um [mm]x_{0}=[/mm] 1
Wo genau liegt denn dein Problem?
Die Potenzreihenentwicklung einer analytischen Funktion $f$ um einen Punkt $a$ ist ja durch $f(x) = [mm] \sum_{k=0}^\infty \frac{f^{(k)}(a)}{k!} [/mm] (x - [mm] a)^k$ [/mm] gegeben (Taylorentwicklung). Du brauchst also zu jedem $k [mm] \in \IN$ [/mm] die $k$-te Ableitung von $f$ (hier: $f(x) = [mm] e^x$) [/mm] an der Stelle $a$ (hier: $a = 1$).
Wie sieht denn [mm] $f^{(k)}(x)$ [/mm] aus fuer jedes $k$, wenn $f(x) = [mm] e^x$ [/mm] ist? (Das solltest du selber beantworten koennen.) Damit kannst du dann die Potenzreihenentwicklung hinschreiben.
Bei der $e$-Funktion kann man auch noch anders vorgehen: es ist ja [mm] $e^{x+y} [/mm] = [mm] e^x e^y$. [/mm] Damit ist $f(x) = [mm] e^x [/mm] = [mm] e^{x - a + a} [/mm] = [mm] e^{x - a} e^a$. [/mm] Nun ist [mm] $e^x [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}$, [/mm] also [mm] $e^{x - a} [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^\infty \frac{(x - a)^k}{k!}$. [/mm] Damit ist [mm] $e^x [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^\infty \frac{e^a}{k!} [/mm] (x - [mm] a)^k$ [/mm] die Potenzreihenentwicklung der $e$-Funktion um den Punkt $a$.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:37 So 22.04.2007 | | Autor: | Engel205 |
Die k-te Ableitung von der e-Funktion ist immer noch die e-Funktion nicht wahr?
Also kann ich das dann einfach einsetzen?
Oder muss ich die Defintion der e-Funktion benutzen, die du auch hingeschrieben hast?
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Hallo Engel,
> Die k-te Ableitung von der e-Funktion ist immer noch die
> e-Funktion nicht wahr? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Also kann ich das dann einfach einsetzen?
> Oder muss ich die Defintion der e-Funktion benutzen, die
> du auch hingeschrieben hast?
Das kannst du dir aussuchen, probiere mal beide Varianten, die Felix oben vorgeschlagen hat, es sollte beide Male dieselbe Reihe herauskommen 
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:51 So 22.04.2007 | | Autor: | Nicole20 |
Super danke an euch beide!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:56 So 22.04.2007 | | Autor: | Nicole20 |
hehe falscher Forum sorry!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:58 So 22.04.2007 | | Autor: | Engel205 |
Hab das ausprobiert und du hattest recht da kam echt beide male das gleich raus!
Danke sehr!
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