Potenzreihenentwicklung < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:10 Sa 06.05.2006 | | Autor: | Fry |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Potenzreihenentwicklung um von der rationalen Funktion
f(z) = [mm] \bruch{2z^3 + 3z +1}{2z^3 - 2}. [/mm] Dazu soll man eine Partialbruchzerlegung machen. |
Ich habe den Bruch mit Polynomdivision umgeformt.
f(z) = [mm] \bruch{2z^{3} + 3z +1}{2z^{3} - 2} [/mm] = 1+ [mm] \bruch{3z+3}{2z^3 - 2}
[/mm]
= 1 + [mm] \bruch{3z+3}{2(z-1)(z+0,5 -i/2* \wurzel{3}) (z+0,5+i/2* \wurzel{3}}. [/mm] Im Nenner stehen also die Nullstellen von [mm] z^3-1
[/mm]
Dann habe ich versucht mit der Zuhaltemethode die Partialbruchzerlegung durchzuführen.
[mm] \bruch{3z +1}{2(z-1)(z+0,5 -i/2* \wurzel{3}) (z+0,5+i/2* \wurzel{3}} [/mm] = [mm] \bruch{A}{z-1} [/mm] + [mm] \bruch{B}{z+0,5-i/2* \wurzel{3} } [/mm] + [mm] \bruch{C}{z+0,5-i/2* \wurzel{3}} [/mm]
Für A erhalte ich dann 1 und für die anderen bekomme ich Buchstabensalat aus Wurzeln und i ´s ...kann mir jemand helfen ?
und wie komme ich danach dann auf die Reihenentwicklung ?
Lg
Fry
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:32 Sa 06.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Berechnen Sie die Potenzreihenentwicklung um von der
Um was denn?
> und wie komme ich danach dann auf die Reihenentwicklung ?
Wenn du eine Funktion der Form [mm] $\frac{1}{a x + b}$ [/mm] um $c$ entwickeln willst (mit $a [mm] \neq [/mm] 0$), dann ist [mm] $\frac{1}{a x + b} [/mm] = [mm] \frac{1}{a (x - c) + (a c + b)} [/mm] = [mm] \frac{1}{1 - \frac{(-a) (x - c)}{a c + b}} [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^\infty \left(\frac{(-a) (x - c)}{a c + b}\right)^k [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^\infty \left(-c - \frac{b}{a}\right)^{-k} [/mm] (x - [mm] c)^k$ [/mm] fuer [mm] $\left|\frac{(-a) (x - c)}{a c + b}\right| [/mm] < 1$, also $|x - c| < [mm] \left|c + \frac{b}{a}\right|$.
[/mm]
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:40 Sa 06.05.2006 | | Autor: | Fry |
Es wird nach einer Potenzreichenentwicklung um 0 gefragt.
Fry
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:33 Sa 06.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Fry!
Wenn du [mm] $\frac{f(x)}{g(x)}$ [/mm] hast mit $f$ einem Polynom, etwa $f = [mm] a_n x^n [/mm] + [mm] \dots [/mm] + [mm] a_0 x^0$, [/mm] und wenn [mm] $\frac{1}{g(x)} [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^\infty b_k x^k$ [/mm] ist, dann ist [mm] $\frac{f(x)}{g(x)} [/mm] = [mm] a_n \sum_{k=0}^\infty b_k x^{k+n} [/mm] + [mm] \dots [/mm] + [mm] a_0 \sum_{k=0}^\infty b_k x^k$. [/mm] Damit bekommst du also eine Potenzreihenentwicklung von [mm] $\frac{f(x)}{g(x)}$, [/mm] wenn du eine von [mm] $\frac{1}{g(x)}$ [/mm] hast.
Jetzt berechne doch mal die Potenzreihenentwicklung von [mm] $\frac{1}{x^2 + x + 1}$, [/mm] sei es durch Partialbruchzerlegung (auch wenn das haesslich ist) oder sonstwie. Da kommt naemlich wieder was relativ schoenes raus!
Wenn du das hast, kannst du deine eigentliche Funktion [mm] $\bruch{2z^3 + 3z +1}{2z^3 - 2}$ [/mm] zerlegen als [mm] $\bruch{2z^3 + 3z +1}{2} \frac{A}{z - 1} [/mm] + [mm] (2z^3 [/mm] + 3z +1) [mm] \frac{B}{z^2 + z + 1}$ [/mm] mit Polynomen $A, B$. Und mit dem Trick oben bekommst du so deine Entwicklung...
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:47 Mo 08.05.2006 | | Autor: | Fry |
Hallo,
ich habe für die Koeffizienten 1 und zweimal -1/2 als Ergebnis raus, stimmt das ? Lg Fry
Habe allerdings vorher Polynomdivision durchgeführt.
...= 1 + 1/(z-1) - [mm] 0,5/(z+0,5-i*\wurzel{3}/2) -0,5/(z+0,5+i*\wurzel{3}/2)
[/mm]
MfG
Fry
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:58 Mo 08.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Fry!
> ich habe für die Koeffizienten 1 und zweimal -1/2 als
> Ergebnis raus, stimmt das ? Lg Fry
> Habe allerdings vorher Polynomdivision durchgeführt.
> ...= 1 + 1/(z-1) - [mm]0,5/(z+0,5-i*\wurzel{3}/2) -0,5/(z+0,5+i*\wurzel{3}/2)[/mm]
Wenn ich mich nicht beim abtippen vertan hab (nach MuPAD), dann stimmts.
LG Felix
|
|
|
|
