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Potenzreihenentw. für Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:44 Do 15.12.2011
Autor: Janinaflo

Aufgabe
Bestimmen Sie eine Potenzreihenentwicklung für Funktionen
[mm] \IR \backslash [/mm] {a,b} [mm] \to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto \bruch{x+1}{x^2-3x+2} [/mm]
Bestimmen Sie außerdem den Konvergenzradius dieser Reihenentwicklung.

Hallo zusammen,

ich verzweifel gerade scheinbar an dieser Aufgabe und habe keinen wirklichen Plan, wie ich am besten vorgehe...

Ich habe bisher bereits die Funktion als Partialbruch zerlegt:
[mm] \IR \backslash [/mm] {a,b} [mm] \to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto \bruch{x+1}{x^2-3x+2} [/mm] = [mm] \bruch{-2}{x-1} [/mm] + [mm] \bruch{3}{x-2} [/mm]

Ich habe nun gefunden, dass man den ganzrationalen Teil in Potenzen von x - [mm] x_0 [/mm] umschreiben soll, allerdings weiß ich nicht so ganz, wie ich das mache... Ich habe ja kein [mm] x_0 [/mm] ... Wie kann ich das [mm] x_0 [/mm] bestimmen?

Vielen Dank schonmal im Voraus!

Viele Grüße!

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Potenzreihenentw. für Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:26 Do 15.12.2011
Autor: MatthiasKr

Hallo,

> Bestimmen Sie eine Potenzreihenentwicklung für Funktionen
>  [mm]\IR \backslash[/mm] {a,b} [mm]\to \IR,[/mm] x [mm]\mapsto \bruch{x+1}{x^2-3x+2}[/mm]
>  
> Bestimmen Sie außerdem den Konvergenzradius dieser
> Reihenentwicklung.
>  Hallo zusammen,
>  
> ich verzweifel gerade scheinbar an dieser Aufgabe und habe
> keinen wirklichen Plan, wie ich am besten vorgehe...
>  
> Ich habe bisher bereits die Funktion als Partialbruch
> zerlegt:
>  [mm]\IR \backslash[/mm] {a,b} [mm]\to \IR,[/mm] x [mm]\mapsto \bruch{x+1}{x^2-3x+2}[/mm]
> = [mm]\bruch{-2}{x-1}[/mm] + [mm]\bruch{3}{x-2}[/mm]
>  
> Ich habe nun gefunden, dass man den ganzrationalen Teil in
> Potenzen von x - [mm]x_0[/mm] umschreiben soll, allerdings weiß ich
> nicht so ganz, wie ich das mache... Ich habe ja kein [mm]x_0[/mm]
> ... Wie kann ich das [mm]x_0[/mm] bestimmen?
>  

wenn deine partialbruchzerlegung stimmt, dann gibt es keinen ganzrationalen anteil, oder?


> Vielen Dank schonmal im Voraus!
>  
> Viele Grüße!
>  

ich würde versuchen, die einzelnen partialbrüche als geeignete geometrische reihen darzustellen. Du hast doch

[mm] \frac{a}{1-x}=\sum_{i=0}^\infty ax^i [/mm] falls $|x|<1$.

es sollte möglich sein, die obigen partialbrüche durch etwas umformen als abgewandelte geometrische reihen zu schreiben.

gruss
matthias

Bezug
                
Bezug
Potenzreihenentw. für Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:16 Do 15.12.2011
Autor: Pia90

Hallo,
zu diesem Problem habe ich auch eine Frage.
Man soll also die Partialbrüche als geeignete geometrische Reihen darstellen.
(Die Zerlegung sollten übrigens stimmen, die habe ich auch rausbekommen :) )

Wenn ich jetzt den ersten Bruch betrachte, also [mm] \bruch{-2}{x-1}, [/mm] dann könnte ich die 2 ja schonmal davorziehen, also 2 [mm] *\bruch{-1}{x-1} [/mm]

2 [mm] *\bruch{-1}{x-1} [/mm] = [mm] 2*\bruch{1}{1-x} [/mm] = 2* [mm] \summe_{n=0}^{\infty} x^n [/mm]

Wäre das soweit richtig?

LG Pia

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Potenzreihenentw. für Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:23 Do 15.12.2011
Autor: MathePower

Hallo Pia90,



> Hallo,
>  zu diesem Problem habe ich auch eine Frage.
>  Man soll also die Partialbrüche als geeignete
> geometrische Reihen darstellen.
> (Die Zerlegung sollten übrigens stimmen, die habe ich auch
> rausbekommen :) )
>  
> Wenn ich jetzt den ersten Bruch betrachte, also
> [mm]\bruch{-2}{x-1},[/mm] dann könnte ich die 2 ja schonmal
> davorziehen, also 2 [mm]*\bruch{-1}{x-1}[/mm]
>  
> 2 [mm]*\bruch{-1}{x-1}[/mm] = [mm]2*\bruch{1}{1-x}[/mm] = 2*
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} x^n[/mm]
>  
> Wäre das soweit richtig?

>


Ja.

  

> LG Pia


Gruss
MathePower

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Bezug
Potenzreihenentw. für Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:33 Do 15.12.2011
Autor: Pia90

Danke erstmal!!!

Ok, bis dahin komme ich also (noch) klar. Nur was ist mit dem Entwicklungspunkt? Bedeutet das, dass der Entwicklungspunkt 0 ist?

Außerdem bleibe ich bei dem zweiten Bruch hängen
[mm] \bruch{3}{x-2} [/mm] = [mm] -3*\bruch{1}{2-x} [/mm] doch wie bekomme ich das nun noch weiter umgeformt, damit ich daraus eine Summe machen kann?

LG

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Bezug
Potenzreihenentw. für Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:39 Do 15.12.2011
Autor: fred97


> Danke erstmal!!!
>  
> Ok, bis dahin komme ich also (noch) klar. Nur was ist mit
> dem Entwicklungspunkt? Bedeutet das, dass der
> Entwicklungspunkt 0 ist?

Ja


>  
> Außerdem bleibe ich bei dem zweiten Bruch hängen
>  [mm]\bruch{3}{x-2}[/mm] = [mm]-3*\bruch{1}{2-x}[/mm] doch wie bekomme ich
> das nun noch weiter umgeformt, damit ich daraus eine Summe
> machen kann?


[mm] \bruch{1}{2-x}=\bruch{1}{2(1-x/2)}=\bruch{1}{2}*\bruch{1}{1-x/2} [/mm]

FRED

>  
> LG


Bezug
                                                
Bezug
Potenzreihenentw. für Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:48 Do 15.12.2011
Autor: Pia90


>
> >  

> > Außerdem bleibe ich bei dem zweiten Bruch hängen
>  >  [mm]\bruch{3}{x-2}[/mm] = [mm]-3*\bruch{1}{2-x}[/mm] doch wie bekomme ich
> > das nun noch weiter umgeformt, damit ich daraus eine Summe
> > machen kann?
>  
>
> [mm]\bruch{1}{2-x}=\bruch{1}{2(1-x/2)}=\bruch{1}{2}*\bruch{1}{1-x/2}[/mm]
>  

[mm] \bruch{1}{2-x}=\bruch{1}{2(1-x/2)}=\bruch{1}{2}*\bruch{1}{1-x/2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}*\summe_{n=0}^{\infty} (\bruch{x}{2})^2 [/mm] ?! Oder steh ich jetzt auf dem Schlauch?

Und meine Potenzreihenentwicklung wäre dann
2* [mm] \summe_{n=0}^{\infty} x^n -\bruch{3}{2}* \summe_{n=0}^{\infty} (\bruch{x}{2})^2? [/mm]

Bezug
                                                        
Bezug
Potenzreihenentw. für Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:50 Do 15.12.2011
Autor: fred97


> >
> > >  

> > > Außerdem bleibe ich bei dem zweiten Bruch hängen
>  >  >  [mm]\bruch{3}{x-2}[/mm] = [mm]-3*\bruch{1}{2-x}[/mm] doch wie bekomme
> ich
> > > das nun noch weiter umgeformt, damit ich daraus eine Summe
> > > machen kann?
>  >  
> >
> >
> [mm]\bruch{1}{2-x}=\bruch{1}{2(1-x/2)}=\bruch{1}{2}*\bruch{1}{1-x/2}[/mm]
>  >  
>
> [mm]\bruch{1}{2-x}=\bruch{1}{2(1-x/2)}=\bruch{1}{2}*\bruch{1}{1-x/2}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{2}*\summe_{n=0}^{\infty} (\bruch{x}{2})^2[/mm] ?!
> Oder steh ich jetzt auf dem Schlauch?

Nein.


>  
> Und meine Potenzreihenentwicklung wäre dann
> 2* [mm]\summe_{n=0}^{\infty} x^n -\bruch{3}{2}* \summe_{n=0}^{\infty} (\bruch{x}{2})^2?[/mm]

Ja, aber Du hast Dich vertippt:

Richtig:

2* [mm]\summe_{n=0}^{\infty} x^n -\bruch{3}{2}* \summe_{n=0}^{\infty} (\bruch{x}{2})^n[/mm]

FRED

>  


Bezug
                                                                
Bezug
Potenzreihenentw. für Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:54 Do 15.12.2011
Autor: Pia90

Oh super, vielen Dank :)

Und der Konvergenzradius lässt sich jetzt mit Cauchy-Hadamard berechnen, nicht?

Bezug
                                                                        
Bezug
Potenzreihenentw. für Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:57 Do 15.12.2011
Autor: fred97


> Oh super, vielen Dank :)
>  
> Und der Konvergenzradius lässt sich jetzt mit
> Cauchy-Hadamard berechnen, nicht?

Nein, das ist nicht nötig.



2* $ [mm] \summe_{n=0}^{\infty} x^n -\bruch{3}{2}\cdot{} \summe_{n=0}^{\infty} (\bruch{x}{2})^n [/mm] $

Die erste Reihe konv. für |x|<1, die zweite für |x|<2,

Dann konv. die Differenz für |x|< ?

FRED


Bezug
                                                                                
Bezug
Potenzreihenentw. für Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:03 Do 15.12.2011
Autor: Pia90


>
> 2* [mm]\summe_{n=0}^{\infty} x^n -\bruch{3}{2}\cdot{} \summe_{n=0}^{\infty} (\bruch{x}{2})^n[/mm]
>  
> Die erste Reihe konv. für |x|<1, die zweite für |x|<2,
>  
> Dann konv. die Differenz für |x|< ?
>  

Dann ist |x| [mm] \le [/mm] min{1,2} also |x| [mm] \le [/mm] 1 ?!

Bezug
                                                                                        
Bezug
Potenzreihenentw. für Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:15 Do 15.12.2011
Autor: MathePower

Hallo Pia90,

> >
> > 2* [mm]\summe_{n=0}^{\infty} x^n -\bruch{3}{2}\cdot{} \summe_{n=0}^{\infty} (\bruch{x}{2})^n[/mm]
>  
> >  

> > Die erste Reihe konv. für |x|<1, die zweite für |x|<2,
>  >  
> > Dann konv. die Differenz für |x|< ?
>  >  
>
> Dann ist |x| [mm]\le[/mm] min{1,2} also |x| [mm]\le[/mm] 1 ?!


Ja. [ok]


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                                                
Bezug
Potenzreihenentw. für Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:22 Do 15.12.2011
Autor: Pia90

Vielen, vielen Dank!!!

Bezug
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