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Potenzreihenansatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:14 Mi 04.03.2009
Autor: SaV86

Aufgabe
Bestimmen Sie den dritten Koeffizienten, d.h. [mm] a_3 [/mm] für [mm] y=\summe_k a_kx^{k}, [/mm] des Potenzreihenansatzes für die folgende Differentialgleichung

y''+y'(3-x²)=1

mit den Anfangswerten y(0)=1 und y'(0)=2.

So, ich wollt das nun mit der rekusivformel lösen.

[mm] a_{k+2}=1/((k+2)*(k+1))*[h_k-\summe_{j=0}^{k}(j+1)f_{k-j}*a_j-\summe_{j=0}^{k} g_{k-j}*a_j] [/mm]  (k=0,1,2,....)

und habe als

h(x)=1
f(x)=(3-x²)

festfelegt.

nun wollte ich mit dem ansatz

[mm] y(x)=\summe_{k=0}^{\infty} a_k*x^{x} [/mm]
angenommen und nun versucht [mm] h_0,h_1,... [/mm] zu bestimmen.
[mm] h_0=1, h_1=h_2=...=h_n=0 [/mm]
[mm] a_0=1, a_1=2,a_2=a_3=.....=0 [/mm]

und [mm] f_0=(3-X²), f_1=? [/mm]

Ich denke das ich die Koeffizienten falsche bestimme!
Wie würde ich denn nun [mm] f_1 [/mm] bestimmen und stimmen die h-Koeffizeinten?

besten danke schonmal!


        
Bezug
Potenzreihenansatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:46 Mi 04.03.2009
Autor: MathePower

Hallo SaV86,


> Bestimmen Sie den dritten Koeffizienten, d.h. [mm]a_3[/mm] für
> [mm]y=\summe_k a_kx^{k},[/mm] des Potenzreihenansatzes für die
> folgende Differentialgleichung
>  
> y''+y'(3-x²)=1
>  
> mit den Anfangswerten y(0)=1 und y'(0)=2.
>  So, ich wollt das nun mit der rekusivformel lösen.
>  
> [mm]a_{k+2}=1/((k+2)*(k+1))*[h_k-\summe_{j=0}^{k}(j+1)f_{k-j}*a_j-\summe_{j=0}^{k} g_{k-j}*a_j][/mm]
>  (k=0,1,2,....)
>  
> und habe als
>
> h(x)=1
>  f(x)=(3-x²)
>  
> festfelegt.
>  
> nun wollte ich mit dem ansatz
>
> [mm]y(x)=\summe_{k=0}^{\infty} a_k*x^{x}[/mm]
>  angenommen und nun
> versucht [mm]h_0,h_1,...[/mm] zu bestimmen.
>  [mm]h_0=1, h_1=h_2=...=h_n=0[/mm]
>  [mm]a_0=1, a_1=2,a_2=a_3=.....=0[/mm]
>  
> und [mm]f_0=(3-X²), f_1=?[/mm]


f(x) ist auch als Potenzreihe zu sehen:

[mm]f_{0}=3, \ f_{1}=0, \ f_{2} = -1, f_{3}=f_{4}=\cdots=0[/mm]


>  
> Ich denke das ich die Koeffizienten falsche bestimme!
>  Wie würde ich denn nun [mm]f_1[/mm] bestimmen und stimmen die
> h-Koeffizeinten?


Die h-Koeffizienten stimmen.


>  
> besten danke schonmal!
>  


Gruß
MathePower

Bezug
                
Bezug
Potenzreihenansatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:03 Do 05.03.2009
Autor: SaV86

Also meien h-Koeffes habe ich so bestimmt, dass ich geschaut habe welche Glieder der Reihe von h(x) existieren.

Der aufbau wäre ja [mm] h(x)=\summe_{i=0}^{\infty} h_0*x^{0}+h_1*x^{1}+h_2*x^{2}+.... [/mm]


und somit existiert nur [mm] h_0=1 [/mm] und alle anderen [mm] h_n [/mm] müssen= 0 sein.

Stimmen meine [mm] a_0 [/mm] und [mm] a_1 [/mm] denn auch?
Was wäre denn, wenn meine Anfangswerte nicht f(0)= sondenr zB f(2)=1 wären?
Wäre dann der Potenzreihenansatz noch möglich?

Aber wie bestimme ich das denn nun bei f(x)? da weiß ich leider nicht wie ich da die Potenzreihe betrachten soll/muss.

Gruß sav

Bezug
                        
Bezug
Potenzreihenansatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:09 Fr 06.03.2009
Autor: MathePower

Hallo SaV86,



> Also meien h-Koeffes habe ich so bestimmt, dass ich
> geschaut habe welche Glieder der Reihe von h(x)
> existieren.n
>  
> Der aufbau wäre ja [mm]h(x)=\summe_{i=0}^{\infty} h_0*x^{0}+h_1*x^{1}+h_2*x^{2}+....[/mm]
>  
>
> und somit existiert nur [mm]h_0=1[/mm] und alle anderen [mm]h_n[/mm] müssen=
> 0 sein.
>  
> Stimmen meine [mm]a_0[/mm] und [mm]a_1[/mm] denn auch?


[mm]a_{0}, \ a_{1}[/mm] sind durch die Anfangsbedingungen vorgegeben.


>  Was wäre denn, wenn meine Anfangswerte nicht f(0)= sondenr
> zB f(2)=1 wären?
>  Wäre dann der Potenzreihenansatz noch möglich?


Der Potenzreihenansatz ist immer möglich.


>  
> Aber wie bestimme ich das denn nun bei f(x)? da weiß ich
> leider nicht wie ich da die Potenzreihe betrachten
> soll/muss.


Nun schreibe

[mm]f\left(x\right)=3-x^{2} = 3*x^{0}+0*x^{1}+\left(-1\right)*x^{2}+0*x^{4}+0*x^{5}+ \cdots [/mm]

[mm]f\left(x\right)=\summe_{k=0}^{\infty}f_{k}*x^{k}[/mm]

mit

[mm]f_{k}=\left\{\begin{matrix} 3, & k=0 \\ -1, & k=2 \\ 0 & sonst\end{matrix}\right[/mm]

>  
> Gruß sav


Gruß
MathePower

Bezug
        
Bezug
Potenzreihenansatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:25 Do 05.03.2009
Autor: fred97


> Bestimmen Sie den dritten Koeffizienten, d.h. [mm]a_3[/mm] für
> [mm]y=\summe_k a_kx^{k},[/mm] des Potenzreihenansatzes für die
> folgende Differentialgleichung
>  
> y''+y'(3-x²)=1
>  
> mit den Anfangswerten y(0)=1 und y'(0)=2.
>  So, ich wollt das nun mit der rekusivformel lösen.
>  
> [mm]a_{k+2}=1/((k+2)*(k+1))*[h_k-\summe_{j=0}^{k}(j+1)f_{k-j}*a_j-\summe_{j=0}^{k} g_{k-j}*a_j][/mm]
>  (k=0,1,2,....)
>  
> und habe als
>
> h(x)=1
>  f(x)=(3-x²)
>  
> festfelegt.
>  
> nun wollte ich mit dem ansatz
>
> [mm]y(x)=\summe_{k=0}^{\infty} a_k*x^{x}[/mm]
>  angenommen und nun
> versucht [mm]h_0,h_1,...[/mm] zu bestimmen.
>  [mm]h_0=1, h_1=h_2=...=h_n=0[/mm]
>  [mm]a_0=1, a_1=2,a_2=a_3=.....=0[/mm]
>  
> und [mm]f_0=(3-X²), f_1=?[/mm]
>  
> Ich denke das ich die Koeffizienten falsche bestimme!
>  Wie würde ich denn nun [mm]f_1[/mm] bestimmen und stimmen die
> h-Koeffizeinten?
>  
> besten danke schonmal!
>  



Ich weiß nicht was Du hier treibst !


Du sollst doch nur den Koeff. [mm] a_3 [/mm] bestimmen !  

Es ist [mm] a_3 [/mm] = [mm] \bruch{y'''(0)}{6} [/mm]


Aus    $y''(x)=1-y'(x)(3-x²)$  erhälst Du : $y''(0) = 1-3y'(0) = -2 $

und

    $y'''(x) = [mm] -y''(x)(3-x^2)+2xy'(x) [/mm] $,

also

    $y'''(0) = -3y''(0) = 6$.

Damit:     [mm] $a_3 [/mm] = 1$

FRED

Bezug
                
Bezug
Potenzreihenansatz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:19 Do 05.03.2009
Autor: SaV86

Also nach meiner Lösung soll [mm] a_3=5/2 [/mm] sein.

hmm mit meinem Rekusivformelansatz und den Werten für [mm] f_1...f_n [/mm] von MathePower komme ich auf [mm] a_3=4/6. [/mm]

Wie komme ich denn auf die Werte von [mm] f_1..f_n??? [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Potenzreihenansatz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:03 Do 05.03.2009
Autor: fred97


> Also nach meiner Lösung soll [mm]a_3=5/2[/mm] sein.


Pardon, Pardon !

Ich hatte in meiner obigen Antwort versehentlich $y'(0) = 1$ angenommen.

Laut Aufgabenstellung ist jedoch  $y'(0) = 2$  (wer lesen kann ist im Vorteil !)

Damit ist $y''(0) = -5$ und $y'''(0) = 15$, also $ [mm] a_3 [/mm] = [mm] \bruch{15}{6} [/mm] = [mm] \bruch{5}{2}$ [/mm]

FRED





>  
> hmm mit meinem Rekusivformelansatz und den Werten für
> [mm]f_1...f_n[/mm] von MathePower komme ich auf [mm]a_3=4/6.[/mm]
>  
> Wie komme ich denn auf die Werte von [mm]f_1..f_n???[/mm]  


Bezug
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