Potenzreihen mit x^2n < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 06:20 So 14.12.2008 | | Autor: | dmy |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Konvergenzradien und die Konvergenzmenge der folgenden Potenzreihen.
[mm] \sum_{n=0}^\infty(100)^n(x+1)^{2n} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Für den Fall [mm] (x+1)^n [/mm] habe ich dies wie gelernt einfach hinbekommen (r=1/100=0,01).
Jedoch scheint sich der Fall [mm] (x+1)^{2n} [/mm] hiervon zu unterscheiden als dass hier r=0,1 zu gelten scheint (hab ich durch ausprobieren ermittelt...
Da in den Büchern + Wikipedia Potenzreihen immer mit [mm] (x-a)^n [/mm] angegeben sind würde mich interessieren wie ich von einer Darstellung der Form [mm] (x-a)^{2n} [/mm] bzw. [mm] (x-a)^{2n+1} [/mm] auf die normale Form komme bzw. für diese den Konvergenzradius r bestimmen kann.
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> Bestimmen Sie die Konvergenzradien und die Konvergenzmenge
> der folgenden Potenzreihen.
>
> [mm]\sum_{n=0}^\infty(100)^n(x+1)^{2n}[/mm]
Hallo,
Du kannst hier mit folgendem "Trick" arbeiten:
Setze [mm] y:=(x+1)^{2}
[/mm]
und bestimme den Konvergenzradius von [mm] \sum_{n=0}^\infty(100)^ny^{n}.
[/mm]
Du weißt dann, daß für |y|<r die Reihe konvergiert.
Es folgt daß die Reihe für [mm] |(x+1)^2|
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:28 So 14.12.2008 | | Autor: | dmy |
| Aufgabe | | [mm] \sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n+1}}{(n^3+7)^4(2n+1)!} [/mm] |
Vielen Dank für den Supertipp! Damit hat es geklappt!
Aber was ist nun in einem Fall mit 2n+1 wie dem obigen!
Ich brauche dann zum Substituieren ja ein y mit [mm] y^n=(x^{2n+1}).
[/mm]
Dies scheint aber nicht so ohne weiteres möglich...
Naja, im obigen Falle geht es vielleicht auch so weil der Konvergenzradius eh Unendlich zu sein scheint, aber prinzipiell Interessieren täte es mich schon wie in diesem Falle vorzugehen wäre...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:07 So 14.12.2008 | | Autor: | Merle23 |
> [mm]\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n+1}}{(n^3+7)^4(2n+1)!}[/mm]
> Vielen Dank für den Supertipp! Damit hat es geklappt!
> Aber was ist nun in einem Fall mit 2n+1 wie dem obigen!
>
> Ich brauche dann zum Substituieren ja ein y mit
> [mm]y^n=(x^{2n+1}).[/mm]
>
> Dies scheint aber nicht so ohne weiteres möglich...
>
> Naja, im obigen Falle geht es vielleicht auch so weil der
> Konvergenzradius eh Unendlich zu sein scheint, aber
> prinzipiell Interessieren täte es mich schon wie in diesem
> Falle vorzugehen wäre...
[mm]\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n+1}}{(n^3+7)^4(2n+1)!} = \sum_{n=0}^{\infty}a_n*x^n[/mm], wobei [mm]a_n = \begin{cases} 0, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ \frac{1}{((\frac{n-1}{2})^3+7)^4(2(\frac{n-1}{2})+1)!}, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}[/mm].
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:07 So 14.12.2008 | | Autor: | dmy |
Vielen DANK! Die Idee der Fallunterscheidung ist super!
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