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Hallo,
Hab ein problem bei Bestimmung des Potenzradius' von der folgenden Reihe:
[mm] \summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{ x^{2n+1} }{ n2^{n} }
[/mm]
man kann ja glaub ich so anfangen:
[mm] \summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{ x^{2n+1} }{ n2^{n} }= \summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{ x^{2n}x }{ n2^{n} }=x \summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{ x^{2n} }{ n2^{n} }
[/mm]
Aber wie soll ich weiter machen,denn für R gilt:
R= [mm] \bruch{1}{ \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|c_{n}|} }
[/mm]
Was soll ich für [mm] c_{n} [/mm] einsetzten denn oben hab ich ja [mm] x^{2n} [/mm] stehen und nicht [mm] x^{n} [/mm] ???
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Hallo,
> [mm]\summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{ x^{2n+1} }{ n2^{n} }= \summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{ x^{2n}x }{ n2^{n} }=x \summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{ x^{2n} }{ n2^{n} }[/mm]
schreibe den letzten Ausdruck etwas anderes:
[mm] \summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{ x^{2n} }{ n2^{n} }\;=\;
x\;\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{\left( {x^2 } \right)^n }}
{{n\;2^n }}} [/mm]
Berechnest Du hier den Konvergenzradius, so muß berücksichtigt werden, das dies der Konvergenzradius für [mm]x^{2}[/mm] ist. Aus dem Konvergenzradius muß also die Wurzel gezogen werden.
Gruß
MathePower
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Danke, man hat also:
[mm] R=\wurzel[2]{q}
[/mm]
[mm] q=\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|c_{n}|} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|\bruch{1}{\wurzel[n]{n2n}}|} [/mm] =1
Also R= [mm] \pm1
[/mm]
Wie kann man jetzt sagen welches Konvergenzverhalten in [mm] x=\pm [/mm] R vorliegt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:26 So 29.05.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Johann!
> [mm]q=\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|c_{n}|} = \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|\bruch{1}{\wurzel[n]{n2n}}|}=1[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Hier ist etwas zuviel des Guten mit [mm] $\wurzel[n]{...}$ [/mm] !
[mm]q \ = \ \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{\left|\bruch{1}{n*2^n}\right|} \ = \ \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{\wurzel[n]{n*2^n}} \ = \ \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{\wurzel[n]{n}*2} \ = \ \bruch{1}{1*2} \ = \ \bruch{1}{2}[/mm]
Hier erhalte ich also einen anderen Wert für $q$ und damit auch $R$ ...
> Wie kann man jetzt sagen welches Konvergenzverhalten in
> [mm]x=\pm[/mm] R vorliegt?
Einfach mal in die Reihe einsetzen und dann auf Konvergenz untersuchen!
Gruß
Loddar
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> Hier erhalte ich also einen anderen Wert für [mm]q[/mm] und damit
> auch [mm]R[/mm] ...
Also R= [mm] \pm\bruch{1}{ \wurzel{2} }
[/mm]
Kann R negativ sein?
>
> > Wie kann man jetzt sagen welches Konvergenzverhalten in
> > [mm]x=\pm[/mm] R vorliegt?
>
> Einfach mal in die Reihe einsetzen und dann auf Konvergenz
> untersuchen!
[mm] \summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{ x^{2n+1} }{ n2^{n} }= \summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{ x^{2n}x }{ n2^{n} }=x \summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{ x^{2n} }{ n2^{n} }:
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}\summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{ \bruch{1}{2^{n}}}{ n2^{n} }= \bruch{1}{2}\summe_{n=1}^{ \infty}\bruch{1}{n}
[/mm]
Also für n>1 divirgiert die Reihe.
Für n=1 ist "Reihe" = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
für n<1 ist "Reihe" = [mm] \bruch{1}{2-2n}
[/mm]
Richtig???
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![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]"){kind=small}
Das verstehe ich jetzt nicht. Der Wert n ist doch variabel und läuft bis [mm] $\infty$.
[/mm]