Potenzreihen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:50 Mo 03.03.2008 | | Autor: | Sokranov |
Hallo allerseits.
Ich habe vollgende Aufgabe:
Konvergenzradius bestimmen zum z0=0 und erste drei Summanten der Pot.reihenentwicklung
f(x) = [mm] \bruch{1}{(z+2i)}
[/mm]
g(x) = [mm] \bruch{1}{(z-3)} [/mm] - [mm] \bruch{1}{(z-2)}
[/mm]
Ich habe mit dem ansatz angefangen :
[mm] f(z)=\summe_{n=1}^{\infty}(an*(z-z0)^n)
[/mm]
Aber das geht irgendwie nicht, den KonvRadius bestimmt man doch mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{an}{a(n+1)}
[/mm]
odeR???
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:27 Mo 03.03.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Erst einmal herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Ich habe vollgende Aufgabe:
> Konvergenzradius bestimmen zum z0=0 und erste drei
> Summanten der Pot.reihenentwicklung
>
> f(x) = [mm]\bruch{1}{(z+2i)}[/mm]
> g(x) = [mm]\bruch{1}{(z-3)}[/mm] - [mm]\bruch{1}{(z-2)}[/mm]
>
> Ich habe mit dem ansatz angefangen :
> [mm]f(z)=\summe_{n=1}^{\infty}(an*(z-z0)^n)[/mm]
>
> Aber das geht irgendwie nicht, den KonvRadius bestimmt man
> doch mit [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{an}{a(n+1)}[/mm]
Also erstens muss im Quotientenkriterium der Betrag stehen:
[mm] r = \lim_{n\rightarrow\infty}\left|\bruch{a_n}{a_{n+1}}\right|[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Und zweitens funktioniert das nicht in jedem Fall, denn es gibt konvergente Potenzreihen, bei denen dieser Limes nicht existiert. Im Allgemeinen brauchst du das Kriterium von Cauchy-Hadamard:
$ r= \bruch{1}{\limsup\limits_{n\rightarrow \infty}\wurzel[n]{|a_n|} $
Aber das nur nebenbei.
Für die Potenzreihen von f und g benutzt du am besten die bekannte Entwicklung der geometrischen Reihe, deren Konvergenzradius 1 ist:
[mm] \bruch{1}{1-q} = \summe_{n=0}^\infty q^n [/mm], $ |q|<1$.
Also:
[mm] f(z) = \bruch{1}{(z+2i)} = \bruch{1}{2i} \bruch{1}{1-(-z)/(2i)} = \bruch{1}{2i} \summe_{n=0}^\infty \left(\bruch{-z}{2i}\right)^n = \bruch{-i}{2} \summe_{n=0}^\infty \left(\bruch{iz}{2}\right)^n[/mm], [mm] \left|\bruch{-z}{2i}\right| < 1 \gdw |z|<2[/mm].
Die Entwicklung von g kannst du jetzt sicher selber ausrechnen.
Viele Grüße
Rainer
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