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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:57 Di 17.07.2007 | | Autor: | Jonez |
| Aufgabe | Gegeben sei eine Potenzreihe [mm]\summe_{j=0}^{\infty} a_{j}z^{j}[/mm] mit dem Konvergenzradius R > 0. Bestimmen Sie die Konvergenzradien der Potenzreihen:
1. [mm]f(z) := \summe_{j=0}^{\infty} a_{j}z^{2j}[/mm]
2. [mm]f(z) := \summe_{j=0}^{\infty} a_{j}^{2}z^{j}[/mm]
3. [mm]f(z) := \summe_{j=0}^{\infty} a_{j}^{2}z^{2j}[/mm] |
Hi,
wie kann man die oben stehenden Aufgaben lösen? Die [mm]a_{j}[/mm] sind ja leider nicht gegeben.
Für die erste Aufgabe hab ich mir überlegt, das erstmal auf die "richtige" Form zu bringen, also folgendes zu machen:
[mm]
b_{j} = \begin{cases} a_{j}, & \mbox{für } j \mbox{ gerade} \\ 0, & \mbox{für } j \mbox{ ungerade} \end{cases}
f(z) := \summe_{j=0}^{\infty} b_{j}z^{j}
R = \limes_{j\rightarrow\infty} |\bruch{b_{j}}{b_{j+1}}|
[/mm]
... aber [mm]b_{j+1}[/mm] wäre ja 0 für j gerade :(
über [mm]R = (\limes_{j\rightarrow\infty} sup \wurzel[j]{b_{j}})^{-1} [/mm] komm ich auch nicht weiter...
kann mir da jemand helfen?
1000 Dank.
Jonas
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Hiho,
du weisst ja, dass > [mm]\summe_{j=0}^{\infty} a_{j}z^{j}[/mm] konvergiert für |z| < R
Ich betrachte mal die erste Reihe, den Rest schaffst dann bestimmt alleine 
1. [mm]f(z) := \summe_{j=0}^{\infty} a_{j}z^{2j}[/mm]
mit [mm]z^{2j} = (z^2)^j[/mm] weisst du nun also, dass nach dem Konvergenzkriterium, die Reihe
[mm]f(z) := \summe_{j=0}^{\infty} a_{j}z^{2j} = \summe_{j=0}^{\infty} a_{j}(z^2)^j} [/mm] konvergiert für [mm] |z^2| [/mm] = [mm] |z|^2 [/mm] < R und somit für |z| < [mm] \sqrt{R}.
[/mm]
MfG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:30 Di 17.07.2007 | | Autor: | Jonez |
Hi,
1000 Dank. Jetzt bekomm ich die anderen auch alleine hin.
Danke,
Jonas
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