Potenzreihe und Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:12 So 15.05.2005 | | Autor: | Maiko |
Hallo!
Ich habe mal eine Frage zu folgender Aufgabe:
Ich soll für folgendes Reihe das Konvergenzintervall (mit Untersuchung der Randpunkte) aufstellen.
Hier ist die Musterlösung:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Bei x=1/2 steht da, dass das Quotientenkriterium hier keine Lösung schafft.
Normalerweise müsste der Grenzwert dieser Funktion = 0 und nicht = 1 sein oder? Ist das ein Schreibfehler?
Warum hat dies aber keine Aussagekraft und warum muss ich dann noch extra eine Abschätzung machen?
Wenn ich einen Grenzwert von = 0 rausbekomme, heißt das doch, dass die Funktion konvergent ist, oder?
Zur Abschätzung:
Es soll ja auf die Vergleichsreihe [mm] 1/k^{\alpha} [/mm] zurückgeführt werden.
[mm] \alpha<1
[/mm]
Warum muss dann der zweite Term (Abschätzung) größer der eigentlichen Funktion sein?
Wenn ich jetzt eine Funktion habe, die ich auf [mm] 1/k^{\alpha} [/mm] mit [mm] \alpha>1 [/mm] zurückführen wöllte, dann müsste der zweite Term kleiner sein oder?
Woran liegt das eigentlich?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo Maiko.
Du vermutest, es gibt einen Schreibfehler bei der Untersuchung der Randpunkte, da der Grenzwert 1 ist. Aber was für einen Grenzwert ist das? Das ist nicht der Grenzwert der Folge [mm] a_n, [/mm] weil klar : [mm] \lim_{n \to \ 0} a_n [/mm] = 0. Der Grenzwert hier ist das von QK, und zwar [mm] \lim_{n \to \ 0}\ |\bruch{a_(n+1)}{a_n}|=1, [/mm] deshalb liefert hier QK keine Aussage.
Eins noch: [mm] \lim_{n \to \ 0} a_n [/mm] = 0 ist eine notwendige Bedingung für die Konvergenz der Reihe [mm] \sum_{k}a_k, [/mm] nicht aber eine hinreichende Bedingung. D.h.: Aus [mm] \lim_{n \to \ 0} a_n [/mm] = 0 folgt NICHT, dass [mm] \sum_{k}a_k [/mm] konverkiert.
Die letzte Folge von Frage habe ich leider nicht ganz verstanden.
Ich hoffe, dass wenigstens ein Teil deiner Fragen beantwortet ist.
Gruss,
logarithmus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:04 Mo 16.05.2005 | | Autor: | Maiko |
Danke erstmal für deine Antwort.
Jetzt nochmal zum QK.
Dieses lautet ja
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{an+1}{an}
[/mm]
Nachdem die Funktion mit Hilfe des Quotientenkriteriums untersucht wurde, erhielt man das Ergebnis =1.
Warum liefert dies keine Aussage?
Zur Abschätzung:
Unter Abschätzung steht:
[mm] 2*\bruch{\wurzel{n+2}}{2n+3} [/mm] > [mm] 2*\bruch{\wurzel{n+2}}{2n+4}
[/mm]
Hier wird ja versucht, die Reihe auf die Vergleichsreihe 1/k = divergent zurückzuführen.
Warum muss das dann ">" und nicht "<" heißen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:39 Mo 16.05.2005 | | Autor: | Max |
Hallo Maiko,
naja, das Quotientenkriterium besagt halt, wenn [mm] $\lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}<1$ [/mm] dann ist die Reihe konvergent. Mehr aber auch nicht. Das ähnlich wie die hinreichende Bedingung für Extremstellen, wenn [mm] $f'(x_E)=0 \wedge f''(x_E)=0$ [/mm] weiß man nichts über die Funktion, erst weitere Untersuchungen können dann zeigen, ob tatsächlich eine Extremstelle vorliegt oder nur ein Sattelpunkt (Beispiel [mm] $f(x)=x^4$ [/mm] mit [mm] $x_E=0$ [/mm] hat trotzdem eine Extremstelle).
Beim Abschätzen einer divergenten Reihe muss man das Minorantenkriterium benutzen. Wenn man weiß $0 < [mm] \sum_{n=0}^{\infty} a_n [/mm] < [mm] \infty$ [/mm] gibt das nicht wirklich eine Information, wohin gegen [mm] $\infty [/mm] < [mm] \sum_{n=0}^{\infty}a_n$ [/mm] besagt, dass die Reihe divergiert. Das war jetzt "umgangssprachlich" aufgeschrieben um das zu verdeutlichen.
Max
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