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| Aufgabe | Entwickeln Sie mit Hilfe der Cauchy Produktformel eine Potenzreihe fuer:
[mm]f(x) = \frac{1}{1-2x} * \frac{1}{1-4x}[/mm]
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Mit Hilfe der geometrischen Reihe gilt ja fuer die Funktion:
[mm]f(x) = \frac{1}{1-2x} * \frac{1}{1-4x} = ( \sum_{n=0}^{ \infty} 2^n x^n) * (\sum_{n=0}^{ \infty} 4^n x^n)[/mm]
Daraus bilde ich dann das Cauchy Produkt:
[mm] \sum_{k=0}^{n} 2^k * 4^{n-k} = \sum_{k=0}^{n} 4^n * ( \frac{1}{2})^k[/mm]
Soweit ist alles richtig, oder?
So ab jetzt steigt mein Verstaendnis fuer die Potenzreihenentwicklung aus. Laut Musterloesung ist folgende Umformung richtig:
[mm]= 4^n * \sum_{k=0}^{n} ( \frac{1}{2})^k[/mm] Erste Frage hierzu. Warum darf [mm] 4^n [/mm] einfach herausgenommen werden?
[mm]= 4^n * \frac{(1-( \frac{1}{2})^{n+1})}{(1- \frac{1}{2})}[/mm] Was ist das? Also hier verstehe ich dann die komplett Umformung nicht mehr. Woher kommt das n+1?
[mm]= 2 * 4^n - 2^n[/mm] Das verstehe ich auch nicht
Waere super wenn mir jemand helfen koennte, da ich seit Stunden rumrechne und suche, aber zu keinem Ergebnis komme. Danke fuer eure Hilfe!!!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:34 So 07.07.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Entwickeln Sie mit Hilfe der Cauchy Produktformel eine
> Potenzreihe fuer:
>
> [mm]f(x) = \frac{1}{1-2x} * \frac{1}{1-4x}[/mm]
> <br>
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> Mit Hilfe der geometrischen Reihe gilt ja fuer die
> Funktion:
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> [mm]f(x) = \frac{1}{1-2x} * \frac{1}{1-4x} = ( \sum_{n=0}^{ \infty} 2^n x^n) * (\sum_{n=0}^{ \infty} 4^n x^n)[/mm]
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> Daraus bilde ich dann das Cauchy Produkt:
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> [mm]\sum_{k=0}^{n} 2^k * 4^{n-k} = \sum_{k=0}^{n} 4^n * ( \frac{1}{2})^k[/mm]
>
> Soweit ist alles richtig, oder?
ne, das ist ziemlicher Quatsch. Du solltest auch vielleicht erstmal den
Konvergenzkreis angeben, bzgl. dem Du rechnest. Dann gilt wegen Cauchy-
Produkt für entsprechende [mm] $x\,$
[/mm]
[mm] $\frac{1}{1-2x} [/mm] * [mm] \frac{1}{1-4x}=( \sum_{n=0}^{ \infty} 2^n x^n) [/mm] * [mm] (\sum_{n=0}^{ \infty} 4^n x^n)=\sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n 2^{k}x^{k}*4^{n-k} x^{n-k}=\sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n 2^{k}4^{n-k} x^n=\sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n (\tfrac{1}{2})^k *(4x)^n$
[/mm]
Weil [mm] $(4x)^n\,$ [/mm] halt von [mm] $k\,$ [/mm] unabhängig ist, ist das
[mm] $=\sum_{n=0}^\infty (4x)^n\sum_{k=0}^n (\tfrac{1}{2})^k$
[/mm]
nach dem Distributivgesetz für endliche Summen! (Beachte: Für jedes $n [mm] \in \IN_0$
[/mm]
ist [mm] $\sum_{k=0}^n [/mm] ...$ eine endliche Summe!)
Nun gilt bekanntlich
[mm] $\sum_{k=0}^n q^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ [/mm] für $|q| < [mm] 1\,.$
[/mm]
(![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe#Berechnung_der_.28endlichen.29_Partialsummen_einer_geometrischen_Reihe.)
Die Herleitung davon ist einfach:
https://matheraum.de/read?i=918663
Vielleicht klären sich damit schon Deine restlichen Fragen?
Gruß,
Marcel
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