Potenzreihe, Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:06 Sa 14.11.2009 | | Autor: | moerni |
| Aufgabe | | [mm] f(t)=\sum_{k=0}^{\infty}a_kt^k, [/mm] wobei [mm] a_k=c_{k+2}(k+1)(k+2) [/mm] und [mm] c_{k+2}=\frac{k^2+k-\lambda(\lambda + 1)}{(k+1)(k+2)}c_k [/mm] mit [mm] c_1, c_0 [/mm] Anfangswerten und [mm] \lambda \in \mathbb [/mm] R |
Hallo.
Ich muss die obige Reihe auf Konvergenz untersuchen. Es ging insgesamt um Lösung von Dgl mit Potenzreihenansatz. Ich habe nun versucht, die Konvergenz der Potenzreihe mit den folgenden Kriterien zu lösen:
1. [mm] \alpha=limsup\wurzel[n]{|a_k|} [/mm] (r ist dann [mm] 1/\alpha, [/mm] für [mm] \alpha [/mm] zwischen 0 und [mm] \infty, [/mm] 0 für [mm] \alpha=\infty, \infty [/mm] für [mm] \alpha=0)
[/mm]
2. [mm] r=\limes_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_k}{a_{k+1}}|
[/mm]
Beide Methoden führen auf ewig lange Multiplikationsketten. Da kann ich einfach keine Aussage für Konvergenz machen. Hat jemand eine Idee?
moerni
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:20 So 15.11.2009 | | Autor: | felixf |
Moin moerni!
> [mm]f(t)=\sum_{k=0}^{\infty}a_kt^k,[/mm] wobei [mm]a_k=c_{k+2}(k+1)(k+2)[/mm]
> und [mm]c_{k+2}=\frac{k^2+k-\lambda(\lambda + 1)}{(k+1)(k+2)}c_k[/mm]
> mit [mm]c_1, c_0[/mm] Anfangswerten und [mm]\lambda \in \mathbb[/mm] R
>
> Hallo.
> Ich muss die obige Reihe auf Konvergenz untersuchen. Es
> ging insgesamt um Lösung von Dgl mit Potenzreihenansatz.
> Ich habe nun versucht, die Konvergenz der Potenzreihe mit
> den folgenden Kriterien zu lösen:
> 1. [mm]\alpha=limsup\wurzel[n]{|a_k|}[/mm] (r ist dann [mm]1/\alpha,[/mm]
> für [mm]\alpha[/mm] zwischen 0 und [mm]\infty,[/mm] 0 für [mm]\alpha=\infty, \infty[/mm]
> für [mm]\alpha=0)[/mm]
> 2. [mm]r=\limes_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_k}{a_{k+1}}|[/mm]
> Beide Methoden führen auf ewig lange
> Multiplikationsketten. Da kann ich einfach keine Aussage
> für Konvergenz machen. Hat jemand eine Idee?
Ich wuerde erstmal versuchen, eine explizite Formel fuer [mm] $c_k$ [/mm] zu finden: das sieht naemlich gar nicht so schwer aus.
Erstmal ist ja [mm] $k^2 [/mm] + k - [mm] \lambda (\lambda [/mm] + 1) = (k - [mm] \lambda) [/mm] (k + [mm] \lambda [/mm] + 1)$.
Es scheint [mm] $c_{2 k} [/mm] = [mm] c_2 \prod_{i=1}^k [/mm] ((1 - [mm] \frac{\lambda - 2}{2 i}) [/mm] (1 + [mm] \frac{\lambda}{2 i - 1})) c_0$ [/mm] und [mm] $c_{2 k + 1} [/mm] = [mm] c_1 \frac{\prod_{i=1}^k ((1 - \frac{\lambda}{2 i - 1}) (1 + \frac{\lambda}{2 i}))}{2 k + 1} c_1$ [/mm] zu sein. Ueberpruefe das bitte selber.
Damit kannst du dann [mm] $a_{2 k}$ [/mm] und [mm] $a_{2 k + 1}$ [/mm] explizit angeben und [mm] $\frac{a_{2k+1}}{a_{2k}}$ [/mm] und [mm] $\frac{a_{2k}}{a_{2k+1}}$ [/mm] explizit ausrechnen. und gucken ob das vom Betrag her fuer $k [mm] \to \infty$ [/mm] konvergiert.
Alternativ kannst du [mm] $\sqrt[2 k]{|a_{2 k}|}$ [/mm] und [mm] $\sqrt[2 [/mm] k + [mm] 1]{|a_{2 k + 1}|}$ [/mm] versuchen nach oben und unten so abzuschaetzen, dass du [mm] $\limsup \sqrt[n]{|a_n|}$ [/mm] bestimmen kannst oder zumindest gut genug abschaetzen kannst.
LG Felix
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