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| Aufgabe | Entwickeln sie folgende Funktion in eine Potenzreihe um 0 und geben sie ihren Konvergenzradius an.
[mm] \bruch{-2x^2+6x-7}{(x-2)^2(x-1)} [/mm] |
Also mein Ansatz wäre die Partialbruchzerlegung:
[mm] \bruch{-2x^2+6x-7}{(x-2)^2(x-1)} [/mm] = [mm] \bruch{A}{x-2} [/mm] + [mm] \bruch{B}{(x-2)^2} [/mm] + [mm] \bruch{C}{(x-1)}
[/mm]
[mm] \gdw -2x^2+6x-7 [/mm] = [mm] A(x-2)(x-1)+B(x-1)+C(x-2)^2 \Rightarrow [/mm] A=8, B= -3, C=-3
[mm] \Rightarrow \bruch{8}{x-2} [/mm] - [mm] \bruch{3}{(x-2)^2} [/mm] - [mm] \bruch{3}{(x-1)}
[/mm]
Stimmt das soweit und wie mach ich weiter?
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Wenn du aus der 8 eine 1 machst, stimmt die Partialbruchzerlegung.
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[mm] \Rightarrow \bruch{1}{x-2} [/mm] - [mm] \bruch{3}{(x-2)^2} [/mm] - [mm] \bruch{3}{x-1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} \summe_{n=0}^{\infty} (\bruch{x}{2})^n [/mm] - [mm] \bruch{3}{(x-2)^2} [/mm] - [mm] \bruch{3}{x-1}
[/mm]
Stimmt die erste Reihe? Die beiden anderen verwirren mich leider...
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Hallo King-LA-Gold,
> [mm]\Rightarrow \bruch{1}{x-2}[/mm] - [mm]\bruch{3}{(x-2)^2}[/mm] - [mm]\bruch{3}{x-1}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2} \summe_{n=0}^{\infty} (\bruch{x}{2})^n[/mm] - [mm]\bruch{3}{(x-2)^2}[/mm] - [mm]\bruch{3}{x-1}[/mm]
> Stimmt die erste Reihe?
Das sollte doch [mm]-\frac{1}{2}[/mm] als Vorfaktor sein ..
[mm]\frac{1}{x-2}=-\frac{1}{2}\cdot{}\frac{1}{1-\frac{x}{2}}[/mm]
> Die beiden anderen verwirren mich
> leider...
Den letzten Term kannst du doch wieder als eine geometrische Reihe schreiben ...
Beim mittleren überlege mal, was für [mm]|q|<1[/mm] die Ableitung [mm]\frac{\partial}{\partial q}\left[ \ \sum\limits_{n\ge 0}q^n \ \right][/mm] ist ...
Gruß
schachuzipus
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Stimmt folgendes:
- [mm] \bruch{1}{2} \summe_{n=0}^{\infty} (\bruch{x}{2})^n [/mm] + [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (x-1)^n*(-3)*(1+n) [/mm] + [mm] \summe_{n=0}^{\infty} 3*x^n
[/mm]
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Hallo King-LA-Gold,
> Stimmt folgendes:
>
> - [mm]\bruch{1}{2} \summe_{n=0}^{\infty} (\bruch{x}{2})^n[/mm] +
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (x-1)^n*(-3)*(1+n)[/mm] +
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} 3*x^n[/mm]
Der mittlere Summand stimmt leider nicht.
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:46 Mi 21.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Entwickeln sie folgende Funktion in eine Potenzreihe um 0
> und geben sie ihren Konvergenzradius an.
> [mm]\bruch{-2x^2+6x-7}{(x-2)^2(x-1)}[/mm]
> Also mein Ansatz wäre die Partialbruchzerlegung:
>
> [mm]\bruch{-2x^2+6x-7}{(x-2)^2(x-1)}[/mm] = [mm]\bruch{A}{x-2}[/mm] +
> [mm]\bruch{B}{(x-2)^2}[/mm] + [mm]\bruch{C}{(x-1)}[/mm]
> [mm]\gdw -2x^2+6x-7[/mm] = [mm]A(x-2)(x-1)+B(x-1)+C(x-2)^2 \Rightarrow[/mm]
> A=8, B= -3, C=-3
> [mm]\Rightarrow \bruch{8}{x-2}[/mm] - [mm]\bruch{3}{(x-2)^2}[/mm] -
> [mm]\bruch{3}{(x-1)}[/mm]
>
> Stimmt das soweit
Dazu hat Leopold schon was gesagt.
> und wie mach ich weiter?
Tipp: geometrische Reihe
FRED
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