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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:26 Mi 11.05.2005 | | Autor: | Maiko |
Hallo!
Ich sollte folgende Aufgabe lösen:
Bestimmung der Entwicklungsstelle und des Konvergenzradiuses der folgenden Potenzreihe:
( [mm] \summe_{}^{} ck*(x-x_{0})^{k} [/mm] )
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die Entwicklungsstelle habe ich richtig bestimmt, nachdem ich die Reihe in "Ausgangsform" (siehe oben) gebracht habe. Leider habe ich Probleme den Grenzwert von ak zu bilden, da ich eine weitere Variable (x) in der Reihe habe. Ich vermute deshalb, schon zu Beginn bei der Umformung einen Fehler gemacht zu haben.
Könnte sich das jmd. mal anschauen?
Wäre wirklich sehr dankbar.
Grüße,
Maik
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo maik,
betrachte nur die Glieder, die vor [mm]{\left( {x\; - \;\frac{1}{2}} \right)^{3k + 2} }[/mm] stehen.
Ich habe die folgende Reihe:
[mm]\sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{1}{{k\;3^{k} }}\;\left( {2x\; - \;1} \right)^{3k + 2} } [/mm]
Diese Reihe habe ich umgeformt zu:
[mm]4\sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{{8^k }}{{k\;3^k }}\;\left( {x\; - \;\frac{1}{2}} \right)^{3k + 2} } [/mm]
Zur Bestimmung des Konvergenzradius habe ich folgendes betrachtet:
[mm]\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \;\left| {\frac{{c_{k + 1} }}{{c_k }}} \right|\; = \;\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \;\frac{{8^{k + 1} \;k\;3^k }}{{(k + 1)\;3^{k + 1} \;8^k }}\; = \;\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \;\frac{8}{3}\;\frac{k}{{k\; + \;1}}\; = \;\frac{8}{3}[/mm]
Diese Reihe konvergiert also im Bereich [mm]\left| {x\; - \;\frac{1}{2}} \right|\; < \;\frac{3}{8}[/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:00 Do 12.05.2005 | | Autor: | Maiko |
Hallo!
Danke für deine schnelle Hilfe, allerdings ist deine Lösung nach Lösungsangabe falsch.
Es müsste [mm] r=(1/2)*3^{1/3}=0,7211 [/mm] rauskommen.
Wahrscheinlich liegt es daran, da es nicht "erlaubt" ist, den Konvergenzradius mittels Grenzwertbestimmung durchzuführen, wenn die Reihe nicht in Ausgangsform gebracht wurde?
Ausgangsform:
[mm] a_{k}* [/mm] ( x - [mm] x_{0})^{[b] k [/b]}
[/mm]
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Hallo Maiko,
> Es müsste [mm]r=(1/2)*3^{1/3}=0,7211[/mm] rauskommen.
>
> Wahrscheinlich liegt es daran, da es nicht "erlaubt" ist,
> den Konvergenzradius mittels Grenzwertbestimmung
> durchzuführen, wenn die Reihe nicht in Ausgangsform
> gebracht wurde?
>
> Ausgangsform:
>
> [mm]a_{k}*[/mm] ( x - [mm]x_{0})^{[b] k [/b]}[/mm]
korrekterweise muß die Reihe dann so lauten:
[mm]4\;\left( {x\; - \;\frac{1}{2}} \right)^{2} \sum\limits_{k = 1}^{\infty} {\frac{{8^{k} }}{{k\;3^{k} }}\;\left( {\left( {x\; - \;\frac{1}{2}} \right)^{3} } \right)^{k} } [/mm]
Bei der Bestimmung des Konvergenzradius habe ich den Exponenten übersehen:
[mm]\begin{array}{l}
\left| {x\; - \;\frac{1}{2}} \right|^3 \; < \;\frac{3}{8} \\
\Rightarrow \;\left| {x\; - \;\frac{1}{2}} \right|\; < \;\sqrt[3]{{\frac{3}{8}}}\; = \;\frac{1}{2}\;\sqrt[3]{3} \\
\end{array}[/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:50 So 15.05.2005 | | Autor: | Maiko |
Jetzt kommt man zwar aufs richtige Ergebnis, aber ich bin mir nicht sicher, ob die Umformungen wirklich korrekt bzw. erlaubt sind.
Ich weiß nicht, ob man die [mm] (x-1/2)^{2} [/mm] wirklich vor das Summenzeichen ziehen kann.
Schließlich ist doch auch dies Teil der Aufsummierung oder?
Auch ist nach diesem Schritt die Grundform
ak* [mm] (x-x_{0})^{k} [/mm]
nicht hergestellt, da ja der zweite Teil hoch drei genommen wird.
Vielleicht könnte das nochmal ein Außenstehender kontrollieren, damit ich mir sicher sein kann, dass dies stimmt.
Das wäre sehr hilfreich.
Grüße,
Maik
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:03 So 15.05.2005 | | Autor: | Max |
Hallo Maiko,
so ist das schon richtig. Das ist das sogenannte Quotientenkriterium für die Konvergenz von Potenzreihen.
Max
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