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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:16 Mo 11.01.2010 | | Autor: | Kalka |
| Aufgabe | Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Reihe
[mm] \summe_{i=1}^{\infty}\frac{n^n}{(n+1)!} [/mm] |
Huhu Zusammen,
bei dieser Aufgabe habe ich zur Zeit meine Schwierigkeiten. Zunächst einfach mal meine Ansatzweise:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} |\frac{a_{n+1}}{a_{n}}| [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|\frac{(n+1)^{(n+1)}*(n+1)!}{(n+2)!*n^n}|= \limes_{n\rightarrow\infty}|\frac{(n+1)^{(n+1)}}{(n+2)*n^n}|= \limes_{n\rightarrow\infty}| \frac{(n+1)*(n+1)^{n}}{(n+2)*n^n}|
[/mm]
Okay, wenn man den Grenzwert jetzt bestimmen könnte, hätte man ja den Konvergenzradius. Allerdings weiß ich nicht wie ich aus diesem Ausdruck den Konvergenzradius bestimmen kann.
Eine weitere Möglichkeit wäre ja auch noch folgendes:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|a_n|} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|\frac{n^n}{(n+1)!}|}=\limes_{n\rightarrow\infty}|\frac{n}{\wurzel[n]{(n+1)!}}|
[/mm]
Allerdings weiß ich auch hier nicht, ob mich das zum Ziel führt. Hättet Ihr da vielleicht einen Tipp für mich?
Viele Grüße,
Kalka
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:21 Mo 11.01.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kalka!
Forme weiter um:
$$... \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\left| \frac{(n+1)*(n+1)^{n}}{(n+2)*n^n}\right| [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \left[\frac{n+1}{n+2}*\frac{(n+1)^{n}}{n^n}\right] [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \left[\frac{n+1}{n+2}*\left(\frac{n+1}{n}\right)^n\right] [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \frac{n+1}{n+2}*\limes_{n\rightarrow\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n [/mm] \ = \ ...$$
Und das ergibt ... ?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:25 Mo 11.01.2010 | | Autor: | Kalka |
Hey,
wow, vielen Dank für diese schnelle Antwort!
Okay, dann war mein Ansatz ja gar nicht so falsch. Das Endergebnis müsste
dann eigentlich "e" sein :)
Vielen Dank für deine Hilfe,
Kalka
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