Potenzreihe? < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:39 Di 18.08.2009 | | Autor: | domerich |
| Aufgabe | bestimme das Konvergenzintervvall der gg. Reihe. Untersuche auch auf Konvergenz für |x|=r
[mm] 1+\bruch{x}{3*2}+\bruch{x^2}{3^2*3}+\bruch{x^4}{3^3*3}... [/mm] |
meine idee war ich soll das als Potenzreihe umschreiben aber ich bin kläglich gescheitert.
es gibt hier kein summenzeichen merke ich gerade ^^
aber ich glaube ich bin auf dem holzweg hier...
|
|
| |
|
> bestimme das Konvergenzintervvall der gg. Reihe. Untersuche
> auch auf Konvergenz für |x|=r
>
> [mm]1+\bruch{x}{3*2}+\bruch{x^2}{3^2*3}+\bruch{x^4}{3^3*3}...[/mm]
Hallo,
kannst Du noch ein paar Summanden dazuschreiben?
Ich kapiere jedenfalls noch nicht, wie es weitergeht.
> meine idee war ich soll das als Potenzreihe umschreiben
> aber ich bin kläglich gescheitert.
>
> es gibt hier kein summenzeichen merke ich gerade ^^
???
\summe_{i=1}^{n}[mm] =\summe_{i=1}^n
[/mm]
Gruß v. Angela
>
> aber ich glaube ich bin auf dem holzweg hier...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:45 Di 18.08.2009 | | Autor: | domerich |
leider sind nicht mehr Summanden gegeben, das ist auch mein Problem!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:48 Di 18.08.2009 | | Autor: | Herby |
Hallo,
> leider sind nicht mehr Summanden gegeben, das ist auch mein
> Problem!
hast du dich dann evtl. beim Tippen vertippt?
Lg
Herby
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:54 Di 18.08.2009 | | Autor: | domerich |
nein habs nochmal überprüft so stehts im buch (15 auflage)
angenommen die 2 da wäre eine 3, würde es dann gehen?
die lösung ist [-3,3)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Di 18.08.2009 | | Autor: | maxiantor |
Wenn die 2 ne 3 wäre, würde dochda erste GLied nicht mehr hinhauen, da dort das Glied 1 sein müsste :S... also kann es höchstens sein, dass die letzte 3 ne 4 sein sollte...
oder wir haben es mit einer komplizierteren Folge zu tun.. ich musste erst, wegen der doppelten 3 an die fibonacifolge denken, aber da war ja die 1 doppelt :S
Edit: und dann wie MathePower schon sagte stimmt der Exponent nicht... :S... 2 Druckfehler bei einer Aufgabe sollten schon zu denken geben, ob es nicht vlt. komplizierter ist :S
EDIT2: Also die Exponentenabweichung wäre mit der Fibonaccifogle zu erklären..
betrachte man mal nur das x, so gelt die folgende Reihe:
[mm] a_0 [/mm] = 1
[mm] (a_n+1)=a_n^{Fibonaccifolge[n]}
[/mm]
also ergibt sich als Faktor q:
[mm] 1,x,x,x^2,x^3,x^5
[/mm]
also für [mm] a_1 [/mm] bis [mm] a_6
[/mm]
1, x, [mm] x^2, x^4, x^7, x^{12}[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:44 Di 18.08.2009 | | Autor: | domerich |
scharf nachgedacht, da aber mit der korrigierten reihe die richtige lösung rauskommt, gehe ich von einem druckfehler aus
die fibonacci reihe kann man ja auch formal net so toll rechnen ^^
|
|
|
| |
|
Hallo domerich,
> bestimme das Konvergenzintervvall der gg. Reihe. Untersuche
> auch auf Konvergenz für |x|=r
>
> [mm]1+\bruch{x}{3*2}+\bruch{x^2}{3^2*3}+\bruch{x^4}{3^3*3}...[/mm]
> meine idee war ich soll das als Potenzreihe umschreiben
> aber ich bin kläglich gescheitert.
Die Idee ist ja auch gut.
Bei genaueren Hinsehen, folgen die Koeffizienten
einer bestimmten Gesetzmäßigkeit.
Diese Gesetzmäßgigkeit gilt es zunächst herauszufinden.
Allgemein schreibt sich der Koeffizient [mm]\bruch{1}{3^{u}*v}[/mm]
Um jetzt herauszufinden, was für u und v einzusetzen ist,
vergleiche die Potenz von x mit der Potenz u von 3, und
vergleiche die Potenz von x mit der Zahl v.
>
> es gibt hier kein summenzeichen merke ich gerade ^^
Nun, die Punkte " ... " deuten an, daß dies so weiter geht.
>
> aber ich glaube ich bin auf dem holzweg hier...
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:06 Di 18.08.2009 | | Autor: | domerich |
also das v muss wohl =3 sein, denke die 2 is ein druckfehler.
jetzt habe ich ja gleichungen, so dachte ich mir das:
[mm] 3^u*3 [/mm] != 1, 9, 27, 81
mit u = n-1 wäre
3^-1*3=1
[mm] 3^0*3 [/mm] aber nur 3... ich komm leider nicht weiter.
[mm] 3^n [/mm] *3 würde aber stimmen für alle außer dem ersten Summanden
|
|
|
| |
|
Hallo domerich,
> also das v muss wohl =3 sein, denke die 2 is ein
> druckfehler.
>
> jetzt habe ich ja gleichungen, so dachte ich mir das:
>
> [mm]3^u*3[/mm] != 1, 9, 27, 81
>
> mit u = n-1 wäre
>
> 3^-1*3=1
> [mm]3^0*3[/mm] aber nur 3... ich komm leider nicht weiter.
>
> [mm]3^n[/mm] *3 würde aber stimmen für alle außer dem ersten
> Summanden
Ich sehe das etwas anders:
[mm]1+\bruch{x}{3\cdot{}2}+\bruch{x^2}{3^2\cdot{}3}+\bruch{x^4}{3^3\cdot{}3}...[/mm]
Nimmt man nur die ersten 3 Summanden, so folgen diese der Gesetzmäßigkeit
[mm]a_{n}=\bruch{1}{3^{n}*\left(n+1\right)}[/mm]
Wendet man das auf den 4 Summanden an, so muß dieser lauten:
[mm]a_{3}=\bruch{1}{3^{3}*4}[/mm]
Demnach müßten die ersten Summanden so lauten:
[mm]1+\bruch{x}{3\cdot{}2}+\bruch{x^2}{3^2\cdot{}3}+\bruch{x^{\blue{3}}}{3^3\cdot{}\blue{4}}...[/mm]
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:36 Di 18.08.2009 | | Autor: | domerich |
so kann ich was mit der Reihe anfangen :)
der radius ist r=|3|
für x=-3 kriege ich mit leibnitz [mm] (-1)^n*1/(1+n) [/mm] Konvergenz wegen der Nullfolge 1/(1+n)
für x=3 mit dem QuotientenKriterium aus [mm] (1)^n*1/(1+n) [/mm] den Wert 1, worauf ich divergenz schließe und dann Konvergenz für die Reihe
x€[-3,3) ... und das steht auch in der Lösung :)
stimmt der weg?
also tsts 2 fehler in einer aufgabe in der 15. auflage, unglaublich!
|
|
|
| |
|
Hallo domerich,
> so kann ich was mit der Reihe anfangen :)
>
> der radius ist r=|3| ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> für x=-3 kriege ich mit leibnitz [mm](-1)^n*1/(1+n)[/mm] Konvergenz
> wegen der monoton fallenden ! Nullfolge 1/(1+n)
Der gute Mann heißt Leibniz ohne "t" !
>
> für x=3 mit dem QuotientenKriterium aus [mm](1)^n*1/(1+n)[/mm] den
> Wert 1, worauf ich divergenz schließe
Das kannst du nicht, im Falle, wo das QK (oder auch das WK) den GW 1 liefert, kannst du bzgl. Konvergenz oder Divergenz keine Aussage treffen, die Kriteren sind in diesem Falle unbrauchbar, du musst dir also was anders überlegen.
Aber für $x=3$ lautet die Reihe ja [mm] $\sum\frac{1}{n+1}$
[/mm]
Die sieht doch schon fast aus wie eine harmonische Reihe, die bekanntermaßen divergiert.
Schätze deine Reihe also gegen eine harmonische Reihe als divergenter Minorante ab, dann folgt die Divergenz mit dem Vergleichskriterium (auch: Majoranten-/Minorantenkrit.)
> und dann Konvergenz
> für die Reihe
>
> x€[-3,3) ... und das steht auch in der Lösung :)
> stimmt der weg?
Ja, weitgehend ...
PS: Das Elementzeichen kannst du so schreiben \in, das gibt [mm] $\in$
[/mm]
>
> also tsts 2 fehler in einer aufgabe in der 15. auflage,
> unglaublich!
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:58 Di 18.08.2009 | | Autor: | domerich |
in meinem schlauen buch steht [mm] \sum\limits_{n=1}^{\infty}1/n [/mm] ist divergent
ich schreibe also [mm] \sum\limits_{n=1}^{\infty} [/mm] 4/n [mm] \ge \sum\limits_{n=1}^{\infty}1/n [/mm] daraus folgt Diveregenz?
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> in meinem schlauen buch steht
> [mm]\sum\limits_{n=1}^{\infty}1/n[/mm] ist divergent
Ja, das sollte sogar in weniger schlauen Büchern stehen 
>
> ich schreibe also [mm]\sum\limits_{n=1}^{\infty}[/mm] 4/n [mm]\ge \sum\limits_{n=1}^{\infty}1/n[/mm]
> daraus folgt Diveregenz?
Wie kommst du auf die obige Reihe?
Für $x=3$ haben wir doch hier die Reihe [mm] $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{3^n}{3^n\cdot{}(n+1)}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n+1}=1+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+1}$
[/mm]
Nun ist [mm] $n+1\le [/mm] 2n$ für [mm] $n\ge [/mm] 1$
Damit bekommst du dann die Abschätzung ... und mithin als divergente Minorante ...
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:16 Di 18.08.2009 | | Autor: | domerich |
sorry war in der aufgabe verrutsch, dort hatte ich den gleichen fehler gemacht und 1 mit dem quotientenkriterium als divergent erklärt.
[mm] \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{3^n}{3^n\cdot{}(n+1)}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n+1}=1+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+1} [/mm] ist aber doch kleiner als [mm] \sum\limits_{n=1}^{\infty}1/n [/mm] weil der nenner ja um 1 größer ist, so funktioniert das minorantenkriterium ja nicht. also geht die minorante [mm] \sum\limits_{n=1}^{\infty}1/n [/mm] nicht.
wie komme ich auf eine minorante? den schritt habe ich nicht verstanden.
|
|
|
| |
|
Hallo domerich,
> sorry war in der aufgabe verrutsch, dort hatte ich den
> gleichen fehler gemacht und 1 mit dem quotientenkriterium
> als divergent erklärt.
>
> [mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{3^n}{3^n\cdot{}(n+1)}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n+1}=1+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+1}[/mm]
> ist aber doch kleiner als [mm]\sum\limits_{n=1}^{\infty}1/n[/mm]
> weil der nenner ja um 1 größer ist, so funktioniert das
> minorantenkriterium ja nicht. also geht die minorante
> [mm]\sum\limits_{n=1}^{\infty}1/n[/mm] nicht.
>
> wie komme ich auf eine minorante? den schritt habe ich
> nicht verstanden.
Wie schachuzipus schon schrieb, ist [mm] 2n \ge n+1, \ n \ge 1, n \in \IN[/mm].
Demnach ist [mm]\bruch{1}{n+1} \ge \bruch{1}{2n}[/mm].
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:29 Di 18.08.2009 | | Autor: | domerich |
ich wusste nicht dass die Reihe 1/2n divergiert... steht net im buch.
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> ich wusste nicht dass die Reihe 1/2n divergiert... steht
> net im buch.
Nana, das kannst du dir mit ein klitze-klein wenig Hirnschmalz doch selber begründen; dazu ist kein Buch notwendig:
Es ist [mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n}=\frac{1}{2}\cdot{}\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=\frac{1}{2}\cdot{}\infty=\infty$
[/mm]
Also nix spannendes ...
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:42 Di 18.08.2009 | | Autor: | domerich |
mir fehlt offensichtlich der hirnschmalz ^^
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:51 Di 18.08.2009 | | Autor: | fred97 |
> ich wusste nicht dass die Reihe 1/2n divergiert... steht
> net im buch.
Komisch, im buch steht auch net, wie Du ein Glas Wasser zutrinken hast, oder dass Du ab und zu mal pinkeln mußt. Trotzdem machst Du beides mehrmals am Tag ?
FRED
|
|
|
|
