Potenzreihe < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:06 Di 26.08.2008 | | Autor: | TTaylor |
| Aufgabe | | [mm] \bruch{3z^2+1}{z+1} [/mm] in Potenzreihe um z0=2 entwickeln. |
Hallo,
Bei dieser Aufgabe komme ich auf [mm] \bruch{3(z-2)^2+ 12(z-2)+13}{3} *\summe_{k=0}^{N}(\bruch{-(z-2)}{3} ) ^k [/mm]
Ich verstehe den nächsten Rechenschritt nicht:
Wie komme ich von dem gerade genannten Ergebnis auf:
[mm] \bruch{13}{3}+\bruch{23(z-2)}{9} +\summe_{k=2}^{N}(-1)^k \bruch {4}{3^{k+1}}(z-2)^k[/mm]
Vielleicht kann mir jemand helfen, wie ich hier weiterrechnen muss.
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> [mm]\bruch{3z^2+1}{z+1}[/mm] in Potenzreihe um z0=2 entwickeln.
> Hallo,
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> Bei dieser Aufgabe komme ich auf [mm]\bruch{3(z-2)^2+ 12(z-2)+13}{3} *\summe_{k=0}^{N}(\bruch{-(z-2)}{3} ) ^k[/mm]
>
> Ich verstehe den nächsten Rechenschritt nicht:
Und ich verstehe nicht, wie Du auf das obenstehende "Zwischenergebnis" gekommen bist. Es ist, sofern man die obere Grenze $N$ durch [mm] $\infty$ [/mm] ersetzt, noch immer gleich dem Ausgangsterm, aber dennoch....
Plausibler erscheint mir folgender Weg:
[mm]\begin{array}{lcll} \displaystyle\frac{3z^2+1}{z+1} &=& \displaystyle 3z-3+\frac{4}{z+1} &\text{Polynomdivision}\\
&=& \displaystyle 3+3(z-2)+\frac{4}{3}\cdot\frac{1}{1-\left(-\frac{z-2}{3}\right)} &\text{ein bisschen Algebra}\\
&=& \displaystyle 3+3(z-2)+\frac{4}{3}\cdot \sum_{k=0}^\infty \left(-\frac{z-2}{3}\right)^k &\text{geometrische Reihe}\\
&=& \displaystyle 3(z-2)^0+3(z-2)^1+\sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{4}{3^{k+1}} (z-2)^k \end{array}[/mm]
nun musst Du nur noch die Summanden für $k=0$ und $k=1$ aus [mm] $\sum_{k}$ [/mm] herausziehen und mit den vor der Summe stehenden Potenzen von $z-2$ verrechnen, um auf die von der Musterlösung vorgegebene Form zu kommen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:44 Mi 27.08.2008 | | Autor: | TTaylor |
Vielen Dank. Das habe ich kapiert.
Wenn ich jetzt für die gleiche Aufgabe [mm] f(z)=\bruch{3z^2+1}{z+1}[/mm] z0= i berechne, erhalte ich folgendes Ergebnis:
[mm] (-1+i)+(3+2i)(z-i)+\summe_{k=2}^{N}\bruch{4(-1)^k}{(1+i)^{k+1}}(z-i)^k[/mm]
Den Konvergenzradius bestimmt man mit Cauchy Hadamard:
Konvergenzreihe:[mm]\summe_{k=0}^{\infty}a_k(z-z_0)^k[/mm]
[mm]R= \bruch{1}{lim sup__{k \to \infty}\wurzel[k]{a_k}[/mm]
Aber wie komme ich hier auf |z-i|<[mm]\wurzel{2}[/mm]?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:53 Mi 27.08.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo TTaylor!
> [mm]R= \bruch{1}{\limsup_{k \to \infty}\wurzel[k]{a_k}[/mm]
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> Aber wie komme ich hier auf |z-i|<[mm]\wurzel{2}[/mm]?
Dann setze doch mal den entsprechenden Term in diese Formel ein.
Zu beachten ist allerdings, dass der Term [mm] $a_k$ [/mm] unter der Wurzel in Betragsstrichen steht!
Gruß
Loddar
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