Potenzreihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | b) Es seien zwei Potenzreihen
[mm] A:=\summe_{n=0}^{\infty} a_{n}z^{n} [/mm] und [mm] B:=\summe_{n=0}^{\infty} b_{n}z^{n}
[/mm]
mit Konvergenzradien rA > 0 und rB > 0 geben. es gelte rA [mm] \not= [/mm] rB. Bestimmen sie den Konvergenzradius der Potenzreihe:
[mm] summe_{n=0}^{\infty} (a_{n}+b_{n})z^{n} [/mm]
c) Was lässt sich in Teil b) sagen, wenn rA = rB gilt? |
Hi,
ich bin hier leider wieder total überfordert. Wie soll man denn hier auf einen exakten Konvergenzradius kommen?
Könnte mir hier wer weiterhelfen? :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo,
2 Fälle sind laut deiner Angabe möglich
1) rA < rB
2) rA >rB
und erst zuletzt kommt die Frage : was ist mit rA=rB
Ihr hattet doch sicher :
Hat [mm] $\sum a_{n}x^{n}$ [/mm] Konvergenzradius r>0 und hat [mm] $\sum b_{n}x^n$ [/mm] Konvergenzradius $s>r $, so hat die Reihe [mm] $\sum (a_n [/mm] + [mm] b_n)x^n$ [/mm] Konvergenzradius r.
Lg
|
|
|
| |
|
Ja so etwas hatten wir, jedoch haben wir da ein mindestens noch dazu stehen. Also: mindestens Konvergenzradius r. Das heisst, der könnte theoretisch auch größer sein.
Wäre ja auch etwas unlogisch von der Fragestellung her, wenn da bei b und c eh das gleiche bei rauskommt oder übersehe ich da was?
|
|
|
| |
|
> Ja so etwas hatten wir, jedoch haben wir da ein mindestens
> noch dazu stehen. Also: mindestens Konvergenzradius r. Das
> heisst, der könnte theoretisch auch größer sein.
>
> Wäre ja auch etwas unlogisch von der Fragestellung her,
> wenn da bei b und c eh das gleiche bei rauskommt oder
> übersehe ich da was?
Gerade im Falle $rA = rB$ kann sich ein größerer Konvergenzradius ergeben.
Und weil mir rA und rB wirklich auf den Nerv geht, gehen wir vielleicht zu besseren Bezeichnungen über
Sei [mm] $R_{1}$ [/mm] der Konvergenzradius der Potenzreihe [mm] $\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^n$ [/mm]
[mm] $R_{2}$ [/mm] der Konvergenzradius von [mm] $\sum_{n=0}^{\infty}b_{n}x^n$ [/mm]
Wir fragen uns nach dem KR (Konvergenzradius) von : [mm] $\sum_{n=0}^{\infty}(a_{n}+b_{n})x^n$ [/mm]
Sei [mm] $R_{1} [/mm] < [mm] R_{2}$ [/mm]
Was ist also der Konvergenzradius von [mm] $\sum_{n=0}^{\infty}(a_{n}+b_{n})x^n$ [/mm] ?
Was passiert wenn wir ein $|x| [mm] \in (R_{1},R_{2})$ [/mm] wählen ?
Ist dann [mm] $\{(a_{n}+b_{n})x^n\}$ [/mm] beschränkt?
Bedenke: der Konvergenzradius einer Potenzreihe [mm] $\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}x^n$ [/mm] ist [mm] $sup\{R>0 , \{c_{n}x^n \} \hspace{0.1cm} ist \hspace{0.1cm} beschraenkt , |x| \le R \}$
[/mm]
Grüße und noch einen frohen Weihnachtstag
Thomas
|
|
|
| |
|
Wenn ich jetzt ein |x| wähle, was grösser wie [mm] R_{1} [/mm] ist, dann ist [mm] a_{n}*x^{n} [/mm] unbeschränkt und somit auch [mm] a_{n}*x^{n} [/mm] + [mm] b_{n}*x^{n}. [/mm] Ist das die richtige Überlegung?
Was ich jetzt nicht verstehe ist warum im Fall [mm] R_{1} [/mm] = [mm] R_{2}, [/mm] der Konvergenzradius grösser wird?
|
|
|
| |
|
Wir machen ein leichtes Beispiel :
$f(x) = [mm] \sum_{n=0}^{\infty}x^n$ [/mm] , $g(x)=-f(x)$
Offensichtlich ist der Konvergenzradius von f und g gleich. (Wie groß ist er )
und was ist nun der Konvergenzradius von f+g ?
lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:06 Mo 28.12.2015 | | Autor: | fred97 |
Den Fall [mm] r_A
Sei
$ [mm] A:=\summe_{n=0}^{\infty} a_{n}z^{n}, B:=\summe_{n=0}^{\infty} b_{n}z^{n} [/mm] $
und
[mm] $C:=\summe_{n=0}^{\infty} c_{n}z^{n} [/mm] $, wobei [mm] c_n:=a_n+b_n.
[/mm]
Sei also [mm] r_A [/mm] < [mm] r_B [/mm] und [mm] r_C [/mm] der Konvergenzradius von $C$
1. Ist $|z| [mm]
[mm] r_C \ge r_A.
[/mm]
2. Annahme [mm] r_C>r_A. [/mm] Dann gibt es ein $t [mm] \in (r_A,r_B)$ [/mm] derart, dass
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} c_{n}t^{n} [/mm] konvergiert.
Wegen
[mm] a_nt^n=c_nt^n-b_nt^n
[/mm]
konvergiert dann auch [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_{n}t^{n}. [/mm] Das ist aber ein Widerspruch, denn [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_{n}t^{n} [/mm] ist wegen [mm] t>r_A [/mm] divergent.
Also ist [mm] r_C \le r_A.
[/mm]
Aus 1. und 2. folgt: [mm] r_C=r_A.
[/mm]
Zum Fall [mm] r_A=r_B: [/mm] ist z.B. [mm] b_n=-a_n, [/mm] so hat [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (a_{n}+b_n)z^{n} [/mm] den Konvergenzradius [mm] \infty. [/mm]
FRED
|
|
|
|
