Potenzmenge und Vektorraum < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:42 Di 09.12.2008 | | Autor: | mugelix |
| Aufgabe |
Sei X eine nichtleere Menge und K der Körper Z/2. Es seien für a [mm] \inK [/mm] und A,B [mm] \in [/mm] P(X) die Abbildungen
[mm] \oplus [/mm] : P(X) x P(X) ---> P(X) definiert durch
A [mm] \oplus [/mm] B := (A \ B) [mm] \cup [/mm] (B \ A)
und
[mm] \odot: [/mm] K x P(X) ----> P(X) definiert durch
a [mm] \odot [/mm] A [mm] :=\begin{cases} \emptyset, & \mbox{für } a=0 \mbox{} \\ A, & \mbox{für } a=1 \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
gegeben.
Zeigen Sie, dass [mm] (P(X);\oplus; \odot) [/mm] ein K-Vektorraum ist! |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
also ich hab diese aufgabe erhalten und ich weiß jetzt nicht wie ich an die aufgabe rangehen soll, ich weiß zwar dass ich die einzelnen kriterien für einen Vektorraum prüfen soll, aber ich komm hier mit der Abbildung und der Potenzmenge durcheinander, würd mich freuen wenn mir jemand weiterhelfen könnte!!
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> Sei X eine nichtleere Menge und K der Körper Z/2. Es seien
> für a [mm]\inK[/mm] und A,B [mm]\in[/mm] P(X) die Abbildungen
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> [mm]\oplus[/mm] : P(X) x P(X) ---> P(X) definiert durch
> A [mm]\oplus[/mm] B := (A \ B) [mm]\cup[/mm] (B \ A)
>
> und
> [mm]\odot:[/mm] K x P(X) ----> P(X) definiert durch
>
> a [mm]\odot[/mm] A [mm]:=\begin{cases} \emptyset, & \mbox{für } a=0 \mbox{} \\ A, & \mbox{für } a=1 \mbox{ } \end{cases}[/mm]
>
> gegeben.
> Zeigen Sie, dass [mm](P(X);\oplus; \odot)[/mm] ein K-Vektorraum
> ist!
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> also ich hab diese aufgabe erhalten und ich weiß jetzt
> nicht wie ich an die aufgabe rangehen soll, ich weiß zwar
> dass ich die einzelnen kriterien für einen Vektorraum
> prüfen soll, aber ich komm hier mit der Abbildung und der
> Potenzmenge durcheinander, würd mich freuen wenn mir jemand
> weiterhelfen könnte!!
hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Genau, hier sind die ganzen VR-Axiome zu prüfen.
Laß uns zunächst diesen VR etwas genauer anschauen, er ist ja etwas ungewöhnlich.
Welches sind hier die Elemente des Vektorraumes, also die Vektoren? Es sind Mengen. Die Vektoren sind hier sämtliche Teilmengen einer Grundmenge X.
Der Körper ist der [mm] \IZ_2 [/mm] mit nur zwei Elementen 0 und 1.
Nun braucht man in einem Vektorraum Verknüpfungen.
Zunächst mal eine, die aus zwei Vektoren wieder einen Vektor macht.
Hier also: eine verknüpfung, die zwei Mengen zu einer neuen Menge verknüpft. Das ist die Verknüpfung [mm] \oplus.
[/mm]
"Addition" ist das nur vom Zeichen und Verhalten her, aber addiert, wie man es von Zahlen kennt, wird da nichts.
Die Addition zweier Mengen A und B ergibt hier die Menge (A \ B) [mm]\cup[/mm] (B \ A) . Das ist übrigens die symmetrische Differenz, die Vereinigung der beiden Mengen ohne ihren Schnitt.
Die Multiplikation ist sehr übersichtlich, da ja nur zwei Körperelemente zur Verfügung stehen.
Nun geht es an den Beweis der Axiome.
Eines der Axiome ist das Assoziativgesetz der Addition.
nehmen wir an, in Deinem Skript steht, daß für alle [mm] a,b,c\in [/mm] V gelten muß (a+b)+c=a+(b+c).
Die Schwierigkeit liegt jetzt meist darin, diese Anweisung auf den konkreten Fall zu übertragen.
Was soll man machen? Man soll drei beliebige Elemente aus dem VR nehmen und zeigen, daß das Assoziativgesetz gilt.
Na gut: die Elemente des vorliegenden Raumes sind Teilmengen von X, und die Addition wurde oben erklärt.
Zu zeigen ist also:
seinen A,B,C [mm] \in [/mm] P(X), also [mm] A,B,C\subseteq [/mm] X.
Dann [mm] gilt(A\oplus B)\oplus C=(A\oplus B)\oplus [/mm] C.
Zu zeigen ist hier dann also eine Gleichheit von Mengen, welche man mit den Kenntnissen aus der Mengenlehre bewältigen muß.
Vielleicht ist jetzt schon manches ein bißchen klarer geworden, und Du fängst mal an.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:33 Di 09.12.2008 | | Autor: | mugelix |
okay, aber was ich noch nicht so ganz verstehe ist wenn ich jetzt (x+y)+z = x+(y+z) setze, welches ja eine voraussetzung für den Vektorraum ist, aus welcher Menge muss ich die x,y,z nehmen und in wie fern spielt die definition von A +B hier eine rolle?
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:42 Di 09.12.2008 | | Autor: | mugelix |
> okay, aber was ich noch nicht so ganz verstehe ist wenn ich
> jetzt (x+y)+z = x+(y+z) setze, welches ja eine
> voraussetzung für den Vektorraum ist, aus welcher Menge
> muss ich die x,y,z nehmen und in wie fern spielt die
> definition von A +B hier eine rolle?
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> Sei X eine nichtleere Menge und K der Körper Z/2. Es seien
> für a [mm]\inK[/mm] und A,B [mm]\in[/mm] P(X) die Abbildungen
>
> [mm]\oplus[/mm] : P(X) x P(X) ---> P(X) definiert durch
> A [mm]\oplus[/mm] B := (A \ B) [mm]\cup[/mm] (B \ A)
>
> und
> [mm]\odot:[/mm] K x P(X) ----> P(X) definiert durch
>
> a [mm]\odot[/mm] A [mm]:=\begin{cases} \emptyset, & \mbox{für } a=0 \mbox{} \\ A, & \mbox{für } a=1 \mbox{ } \end{cases}[/mm]
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> gegeben.
> Zeigen Sie, dass [mm](P(X);\oplus; \odot)[/mm] ein K-Vektorraum
> ist!
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> also ich hab diese aufgabe erhalten und ich weiß jetzt
> nicht wie ich an die aufgabe rangehen soll, ich weiß zwar
> dass ich die einzelnen kriterien für einen Vektorraum
> prüfen soll, aber ich komm hier mit der Abbildung und der
> Potenzmenge durcheinander, würd mich freuen wenn mir jemand
> weiterhelfen könnte!!
> okay, aber was ich noch nicht so ganz verstehe ist wenn ich
> jetzt (x+y)+z = x+(y+z) setze, welches ja eine
> voraussetzung für den Vektorraum ist, aus welcher Menge
> muss ich die x,y,z nehmen und in wie fern spielt die
> definition von A +B hier eine rolle?
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Hallo,
nun frage ich mich natürlich, ob Du mein Post lediglich überflogen oder mit der gebotenen Gründlichkeit studiert hast...
Ich schrieb:
"Eines der Axiome ist das Assoziativgesetz der Addition.
nehmen wir an, in Deinem Skript steht, daß für alle [mm] a,b,c\in [/mm] V gelten muß (a+b)+c=a+(b+c).
Die Schwierigkeit liegt jetzt meist darin, diese Anweisung auf den konkreten Fall zu übertragen.
Was soll man machen? Man soll drei beliebige Elemente aus dem VR nehmen und zeigen, daß das Assoziativgesetz gilt.
Na gut: die Elemente des vorliegenden Raumes sind Teilmengen von X, und die Addition wurde oben erklärt.
Zu zeigen ist also:
seinen A,B,C [mm] \in [/mm] P(X), also [mm] A,B,C\subseteq [/mm] X.
Dann [mm] gilt(A\oplus B)\oplus C=(A\oplus B)\oplus [/mm] C.
Zu zeigen ist hier dann also eine Gleichheit von Mengen, welche man mit den Kenntnissen aus der Mengenlehre bewältigen muß. "
Du mußt jetzt also mithilfe der Def. von [mm] \oplus [/mm] vorrechnen, daß [mm] (A\oplus B)\oplus [/mm] C dasselbe ist wie [mm] (A\oplus B)\oplus [/mm] C.
Hier brauchst Du die Definition der Verknüpfung [mm] \oplus [/mm] und natürlich Mengenlehre.
Nun fang mal an.
Wenn Du weitere Fragen hast, zeig, was Du gemacht hast, damit das besprochen werden kann.
Gruß v. Angela
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