Potenzmenge und Abbildungen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei X eine Menge und f eine Abbildung der Potenzmenge P(X) nach P(X) gegeben
durch die Zuordnung [mm] M-->x\M
[/mm]
Zeigen Sie, dass f bijektiv ist und bestimmen Sie die Umkehrfunktion von f |
ich habe die Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Wie kann ich diese Aufgabe lösen. klar. Die Potenzmenge ist die Teilmenge aller Mengen von M. Wie löse ich diese Aufgabe?
mfG
Robin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:53 Fr 25.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> Es sei X eine Menge und f eine Abbildung der Potenzmenge
> P(X) nach P(X) gegeben
> durch die Zuordnung [mm]M-->x\M[/mm]
Du hast also eine Abbildung $f:P(X) [mm] \to [/mm] P(X)$
Aus dem Quelltext entnehme, bzw. vermute ich, dass f so def. ist:
$f(M):=X [mm] \setminus [/mm] M$ (M [mm] \in [/mm] P(X))
>
> Zeigen Sie, dass f bijektiv ist und bestimmen Sie die
> Umkehrfunktion von f
> ich habe die Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
> Wie kann ich diese Aufgabe lösen. klar. Die Potenzmenge
> ist die Teilmenge aller Mengen von M. Wie löse ich diese
> Aufgabe?
1. Zeige, dass f injektiv ist.
Dazu zeige: sind [mm] M_1,M_2 \in [/mm] P(X) und gilt [mm] f(M_1)=f(M_2), [/mm] so folgt [mm] M_1=M_2
[/mm]
2. Zeige, dass f surjektiv ist.
Dazu zeige: ist N [mm] \in [/mm] P(X), so gibt es ein M [mm] \in [/mm] P(X) mit f(M)=N.
3. Zur Umkehrfunktion: Tipp: zeige [mm] f^{-1}=f.
[/mm]
FRED
> mfG
> Robin
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Wie kann ich die Umkehrfuntion an dieser Stelle bestimmen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:00 Fr 25.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> Wie kann ich die Umkehrfuntion an dieser Stelle bestimmen?
Für M [mm] \in [/mm] P(X) sei [mm] $M^C:=X \setminus [/mm] M$. Mach Dir Klar, dass [mm] (M^C)^C=M [/mm] ist.
Dann zeige: f(f(M))=M für alle M [mm] \in [/mm] P(X) .
FRED
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Welche Bedeutung hat denn "hoch C" an dieser Stelle bzw. wie kommen sie darauf es einzuführen? Und wie kommt man auf den nächsten Schritt?
vielen Lieben Dank für die Mühe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:11 Fr 25.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> Welche Bedeutung hat denn "hoch C" an dieser Stelle
Hab ich doch gesagt: $ [mm] M^C:=X \setminus [/mm] M $
> bzw.
> wie kommen sie darauf es einzuführen?
Als abkürzende Schreibweise. Wie habt Ihr denn das Komplement einer Menge bezeichnet ? Vielleicht so:
[mm] \overline{M} [/mm] ?
> Und wie kommt man
> auf den nächsten Schritt?
Tust Du auch mal was ?
Zeige f(f(M))=M
FRED
> vielen Lieben Dank für die Mühe
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ich habe um ehrlich zu sein noch nie etwas von dem Komplement einer Menge gehört.
Ich frage mich nur wie man festlegen kann das M(hoch c)= X/M ist und wie kann man dann den nächsten Schritt = ( M(hochc)) (hoch c) herleiten.
und um den letzten Schritt zu beweisen: muss ich mir dann beliebiege Mengen und Zahlen ausdenken?
ich würde sehr gerne was tuen aber ich stehe so ziemlich am Schlauch.
Ich frage mich auch wie ich zeigen soll das jeder x Wert nur einen y Wert hat wenn ich keine Definition für die Menge und somit auch keine Zahlen habe
können sie mir da helfen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:34 Fr 25.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> ich habe um ehrlich zu sein noch nie etwas von dem
> Komplement einer Menge gehört.
Ist X die Grundmenge und ist M eine Teilmenge von X, so ist das Komplement von M def. durch
$X [mm] \setminus M=\{x \in X: x \notin M\}$
[/mm]
Für diese Menge schreibt man auch [mm] M^C [/mm] oder [mm] M^c [/mm] oder [mm] \overline{M}
[/mm]
Das sind also nur Schreibweisen !
> Ich frage mich nur wie man festlegen kann das M(hoch c)=
> X/M ist und wie kann man dann den nächsten Schritt = (
> M(hochc)) (hoch c) herleiten.
Es gilt:
x [mm] \in (M^C)^C \gdw [/mm] x [mm] \notin M^C \gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] M.
Fazit: [mm] (M^C)^C [/mm] =M.
> und um den letzten Schritt zu beweisen: muss ich mir dann
> beliebiege Mengen und Zahlen ausdenken?
nein. das sollst Du ganz allgemein machen.
FRED
> ich würde sehr gerne was tuen aber ich stehe so ziemlich
> am Schlauch.
> Ich frage mich auch wie ich zeigen soll das jeder x Wert
> nur einen y Wert hat wenn ich keine Definition für die
> Menge und somit auch keine Zahlen habe
> können sie mir da helfen?
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okay vielen Dank. das hilft mir weiter.
nun zu 2. (injektiv)
wie kann ich nachweisen das die Abbildung injektiv ist? kann ich formulieren das es eine Identitätsabbildung ist, da gilt P(x)-->P(x) ? das hieße ja x-->x
jedoch hätte ich in diesem Zusammenhang M nicht berücksichtig. Wie kann ich also begründen das M injektiv bzw. surjektiv ist ( PS: Die Formulieren für injektiv und surjektiv kenne ich ja bereits)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:52 Fr 25.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> okay vielen Dank. das hilft mir weiter.
> nun zu 2. (injektiv)
> wie kann ich nachweisen das die Abbildung injektiv ist?
Seien [mm] M_1, M_2 \in [/mm] P(X) und [mm] f(M_1)=f(M_2), [/mm] also [mm] M_1^C=M_2^C.
[/mm]
zeige nun [mm] M_1=M_2
[/mm]
> kann ich formulieren das es eine Identitätsabbildung ist,
> da gilt P(x)-->P(x) ? das hieße ja x-->x
Unfug. Wie f def. ist haben wir doch oben schon geklärt !
> jedoch hätte ich in diesem Zusammenhang M nicht
> berücksichtig. Wie kann ich also begründen das M injektiv
> bzw. surjektiv ist
Diese Eigenschaften sollst Du von f nachweisen (nicht von M, was gar keinen Sinn macht !)
FRED
P.S.: wenn Du zeigen kannst, dass f(f(M))=M ist für jedes M [mm] \in [/mm] P(X),
dann bekommst Du die Bijektivität von f (fast) geschenkt. Warum ?
( PS: Die Formulieren für injektiv und
> surjektiv kenne ich ja bereits)
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okay danke.
ich verstehe was sie meinen. Ich frage mich nur wie ich eben zeige das M1=M2 ist ohne Zahlen oder Variablen einzusetzten?
ja das verstehe ich. Eine Umkehrfunktion kann man nur bilden wenn die Abbildung bijektiv ist. Aber wie formuliere ich die Umkehrfunktion? Reicht es wenn ich schreibe f(f(m)= M ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:18 Fr 25.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> okay danke.
> ich verstehe was sie meinen. Ich frage mich nur wie ich
> eben zeige das M1=M2 ist ohne Zahlen oder Variablen
> einzusetzten?
Sei
(*) [mm] M_1^C=M_2^C
[/mm]
Nun nehmen wir uns ein x [mm] \in M_1 [/mm] her. Dieses x muss zu [mm] M_2 [/mm] gehören ! Denn anderenfalls wäre x [mm] \in M_2^C [/mm] und damit, wegen (*) auch x [mm] \in M_1^C
[/mm]
Also ist x [mm] \in M_2
[/mm]
damit ist gezeigt: [mm] M_1 \subseteq M_2.
[/mm]
Völlig analog zeigt man: [mm] M_2 \subseteq M_1.
[/mm]
> ja das verstehe ich. Eine Umkehrfunktion kann man nur
> bilden wenn die Abbildung bijektiv ist. Aber wie formuliere
> ich die Umkehrfunktion? Reicht es wenn ich schreibe f(f(m)=
> M ?
Hast Du gezeigt, dass f(f(M))=M ist für jedes M [mm] \in [/mm] P(X) ?
Wenn ja, dann folgt: [mm] f^{-1}=f.
[/mm]
FRED
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1.ja das stimmt. das x muss zu M2 gehören. nur ich habe ja keine Definition der Menge. Wie kann ich dann beweisen das x zu M2 gehört?
2. ja. nur wie soll ich f(f(m) ausschreiben wenn ich nicht mehr angegebn habe als die Aufgabenstellung die ich hier veröffentlicht habe. ich habe weder Mengen noch Definitionsangaben
mfG
Robin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:41 Fr 25.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Robin1990!
> 1.ja das stimmt. das x muss zu M2 gehören. nur ich habe ja
> keine Definition der Menge. Wie kann ich dann beweisen das
> x zu M2 gehört?
Das hat Fred dir doch schon vorgeführt.
Wenn dir daran etwas unklar ist, frage konkret danach.
> 2. ja. nur wie soll ich f(f(m) ausschreiben wenn ich nicht
> mehr angegebn habe als die Aufgabenstellung die ich hier
> veröffentlicht habe. ich habe weder Mengen noch
> Definitionsangaben
Du hast doch die Definition von $f$.
Es gilt für jedes [mm] $M\in\mathcal{P}(X)$
[/mm]
[mm] $f(M)=X\setminus M=M^c$.
[/mm]
Somit gilt
[mm] $f(f(M))=f(M^c)=\ldots$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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Also meine Lösung sieht bisher so aus:
Damit eine Abbildung bijektiv ist muss sie sowohl aurjektiv als auch injektiv sein.
injektiv:
da gilt: M1,M2 sind Elemente von P(x) und f(M1)=f(M2) gilt auch M1=M2
surjektiv:
ist n ein Element von P(x) so gibt es ein M Element von P(x) für das gilt: f(M)=n
Umkehrfunktion:
zeige: f(hoch minus 1)=f
f(f(M))=M für alle M Element von P(X)
wie könnte ich meine Lösung noch ergänzen? gibt es Fehler?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:31 Fr 25.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Also meine Lösung sieht bisher so aus:
> Damit eine Abbildung bijektiv ist muss sie sowohl
> aurjektiv als auch injektiv sein.
Ja.
> injektiv:
> da gilt: M1,M2 sind Elemente von P(x) und f(M1)=f(M2) gilt
> auch M1=M2
> surjektiv:
> ist n ein Element von P(x) so gibt es ein M Element von
> P(x) für das gilt: f(M)=n
Du hast korrekt aufgeschrieben, was zu zeigen ist.
Nun gilt es, das auch zu zeigen.
> Umkehrfunktion:
> zeige: f(hoch minus 1)=f
> f(f(M))=M für alle M Element von P(X)
Warum gilt $f(f(M))=M$ für alle [mm] $M\in\mathcal{P}(X)$?
[/mm]
Warum folgt daraus [mm] $f^{-1}=f$?
[/mm]
(Wie habt ihr [mm] $f^{-1}$ [/mm] genau definiert?)
> wie könnte ich meine Lösung noch ergänzen? gibt es
> Fehler?
Wie gesagt: Du hast bisher nur aufgeschrieben, was zu zeigen ist. Nun musst du diese Tatsachen auch zeigen.
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die Umkehrfunktion haben wir in der Vorlesung leider gar nicht formuliert.
Und die Zusammenhänge verstehe ich. Mein größtes Problem ist, dass ich nicht verstehe wie ich dies alles zeige wenn ich weder Zahlen noch Definitionsmenge gegeben habe. Das habe ich Fred ja auch schon versucht zu verdeutlichen. Aber jedes mal wird mir wieder gesagt das ich dies zeigen soll. Leider weiß ich nicht wie. Wie zeigt man denn ohne sämtliche Angaben oder Beispiele das z.B. M1=M2 gilt?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:14 Fr 25.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> die Umkehrfunktion haben wir in der Vorlesung leider gar
> nicht formuliert.
Das kann ich mir kaum vorstellen, dass die Definition einer Umkehrfunktion in der Vorlesung nicht dran kam.
Für den Fall, dass du diese Definition nicht doch noch findest, gehen wir mal von folgender Definition aus:
Sei [mm] $f\colon A\to [/mm] B$ bijektiv.
Dann heißt die Abbildung
[mm] $g\colon B\to [/mm] A$,
die jedem [mm] $b\in [/mm] B$ das eindeutig bestimmte Element [mm] $a\in [/mm] A$ mit $f(a)=b$ zuordnet, die Umkehrfunktion von $f$.
> Und die Zusammenhänge verstehe ich. Mein größtes Problem
> ist, dass ich nicht verstehe wie ich dies alles zeige wenn
> ich weder Zahlen noch Definitionsmenge gegeben habe. Das
> habe ich Fred ja auch schon versucht zu verdeutlichen. Aber
> jedes mal wird mir wieder gesagt das ich dies zeigen soll.
> Leider weiß ich nicht wie. Wie zeigt man denn ohne
> sämtliche Angaben oder Beispiele das z.B. M1=M2 gilt?
Wir haben ja immerhin die Voraussetzung, dass [mm] $f(M_1)=f(M_2)$ [/mm] gilt.
Ich wähle mal bewusst eine naheliegende und nicht die eleganteste Lösung.
Seien also [mm] $M_1,M_2\in\mathcal{P}(X)$ [/mm] mit [mm] $f(M_1)=f(M_2)$. [/mm] (*)
Wir wollen [mm] $M_1=M_2$ [/mm] zeigen.
Dazu ist [mm] $M_1\subseteq M_2$ [/mm] und [mm] $M_2\subseteq M_1$ [/mm] zu zeigen.
Ich führe nur [mm] $M_1\subseteq M_2$ [/mm] vor, [mm] $M_2\subseteq M_1$ [/mm] zeigt man sehr ähnlich.
Zum Nachweis von [mm] $M_1\subseteq M_2$ [/mm] sei [mm] $x\in M_1$. [/mm] (**)
Zu zeigen ist [mm] $x\in M_2$.
[/mm]
Angenommen [mm] $x\notin M_2$. [/mm] (***)
Zu zeigen ist ein Widerspruch.
Wegen [mm] $M_1\in\mathcal{P}(X)$ [/mm] gilt [mm] $M_1\subseteq [/mm] X$.
Aus (**) folgt somit [mm] $x\in [/mm] X$.
Zusammen mit (***) und (*) folgt daraus
[mm] $x\in X\setminus M_2=f(M_2)=f(M_1)=X\setminus M_1$.
[/mm]
Also [mm] $x\notin M_1$.
[/mm]
Dies widerspricht jedoch (*).
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ok. danke. die Umkehrfunktion müsste ja theroetisch f( P(x)) --> f(P(x)) sein oder? Was kann ich noch mehr dazu angeben?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:31 Fr 25.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> ok. danke. die Umkehrfunktion müsste ja theroetisch f(
> P(x)) --> f(P(x)) sein oder?
Unfug !!!
> Was kann ich noch mehr dazu
> angeben?
Sag mal, liest Du eigentlich, was man Dir schreibt ?
Mehrfach habe ich Dir gesagt, dass gilt:
(*) f(f(M))=M für jedes M [mm] \in [/mm] P(X).
Hast Du das gezeigt ?
Aus (*) folgt dann: [mm] f^{-1}=f, [/mm] also
[mm] f^{-1}(M)= [/mm] X [mm] \setminus [/mm] M für jedes M $ [mm] \in [/mm] $ P(X).
Auch das hab ich Dir mehrfach gesagt !
FRED
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Wieso gilt f(f(M) für alle M Element aus P(x)? Lieg es daran das P(x)-->P(x) abgebildet wird?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:50 So 27.10.2013 | | Autor: | fred97 |
Wie oft noch ?????????????????????????????????????????????
[mm] f(f(M))=f(M^C)=(M^C)^C=M
[/mm]
FRED
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danke für die Hilfe und bitte nicht aufgrund meiner Nachfragen aufregen.
Kann man dies nicht alles auch ohne hoch c darstellen. Das haben wir leider in der Vorlesung noch nicht behandelt. Können sie mir das nicht an dieser Stelle erläutern indem sie hoch c durch [mm] x\M [/mm] ersetzten?
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> Kann man dies nicht alles auch ohne hoch c darstellen.
Hallo,
es ist [mm] M^c=X\setminus [/mm] M.
LG Angela
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:49 So 27.10.2013 | | Autor: | Robin1990 |
ok und wie kommt es dann das( M(hoch c-)) (hoch c)= M ist?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:58 So 27.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> ok und wie kommt es dann das( M(hoch c-)) (hoch c)= M ist?
Ich könnte dir jetzt natürlich einen ausführlichen Beweis vorrechnen.
Eine Beweisskizze hat Fred dir schon einmal gegeben.
Aber (auch auf die Gefahr hin, mich zu wiederholen) tue doch erst einmal nacheinander all das, was Angela dir empfohlen hat!
Das dürfte dir mehr bringen.
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wie kann ich zeigen das f(M)=N um die Surjektivität zu beweisen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:46 So 27.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> wie kann ich zeigen das f(M)=N um die Surjektivität zu
> beweisen?
Sei N [mm] \in [/mm] P(X). Wähle [mm] M=N^C.
[/mm]
Auch das hat man Dir schon mehrfach gesagt !!!!!
FRED
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natürlich les ich mir die Antworten ausführlich durch!
ich komme soweit das ich verstehe das es für M Elemt aus P(x) ein f(M)=N geben muss damit die Funktion surjektiv ist. allerdings versteh ich nicht wie ich dies nachweisen soll. Jetzt würden sie wahrscheinlich wieder den Lößungsvorschlaf mit N hoch c Vorschlagen. allerdings verstehe ich den Zusammenhang nicht und weiß auch nicht was ich an dieser Stelle wählen soll. Können sie mir den Lösungsweg eventuell ausführlicher erläutern?
LG Robin
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> natürlich les ich mir die Antworten ausführlich durch!
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Es würde sicher das paralle Studium der Vorlesungsmitschrift bzw. eines Lehrbuches nicht schaden.
> ich komme soweit das ich verstehe das es für M Elemt aus
> P(x) ein f(M)=N geben muss damit die Funktion surjektiv
> ist.
Nein, da hast Du etwas völlig falsch verstanden.
Wenn Deine Funktion f surjektiv ist, dann gibt es zu jedem [mm] N\in [/mm] P(X) eine passende Menge [mm] M\in [/mm] P(X) so, daß
f(M)=N.
> allerdings versteh ich nicht wie ich dies nachweisen
> soll. Jetzt würden sie wahrscheinlich wieder den
> Lößungsvorschlaf
Ah.
> mit N hoch c Vorschlagen. allerdings
> verstehe ich den Zusammenhang nicht und weiß auch nicht
> was ich an dieser Stelle wählen soll. Können sie mir den
> Lösungsweg eventuell ausführlicher erläutern?
Hui, der Thread ist ja schon ziemlich lang...
Irgendwie glaub' ich, daß Du bisher absolut nix kapiert hast, und zwar auch überhaupt nicht die Funktion f.
Wir machen jetzt mal ein konkretes Beispiel:
Sei [mm] X:=\{a,b,c\}.
[/mm]
Dann ist
[mm] P(X)=\{\emptyset,\{a\},\{b\},\{c\},\{a,b\},\{a,c\},X\}.
[/mm]
Nun haben wir [mm] f:P(X)\to [/mm] P(X) mit
[mm] f(M):=X\setminus [/mm] M für alle [mm] M\in [/mm] P(X).
Vielleicht sagst Du jetzt erstmal für jedes [mm] M\in [/mm] P(x) den zugehörigen Funktionswert:
[mm] f(\emptyset)=
[/mm]
[mm] f(\{a\})=
[/mm]
[mm] \vdots
[/mm]
f(X)=
Wenn Du Dir Deine Liste anschaust, so wirst Du feststellen, daß jedes Element von P(X) als Funktionswert vorkommt.
Funktionen, bei denen jedes Element der Zielmenge als Funtionswert angenommen wird, heißen surjektiv.
So, kleine Übung:
jetzt nehmen wir mal [mm] X:=\{1,2,3,4\},
[/mm]
und definieren [mm] f:P(X)\to [/mm] P(X) wie eben,
also [mm] f(M):=X\setminus [/mm] M für alle [mm] M\in [/mm] P(X).
Ich verrate Dir, daß die Funktion surjektiv ist, und Du überlegst Dir jetzt mal, welche Menge M ich nehmen muß, damit
[mm] f(M)=\{2,3\}.
[/mm]
Wenn Du das hast, überlegst Du Dir, welche Menge M ich nehmen muß, damit
[mm] f(M)=\{4\}.
[/mm]
Wenn Du das hast, überlegst Du Dir, welche Menge M ich nehmen muß, damit
f(M)=X.
Wenn Dir all das gelungen ist, dann kannst Du Dich wieder der eigentlichen Aufgabe widmen:
Für irgendeine Menge X ist definiert die Funktion [mm] f:P(X)\to [/mm] P(X) durch
also [mm] f(M):=X\setminus [/mm] M für alle [mm] M\in [/mm] P(X).
Nun sei N eine beliebiges Element von P(X), also [mm] N\in [/mm] P(X) beliebig.
Das bedeutet ja, daß N irgendeine Teilmenge von X ist.
Wie mußt Du nun die Menge M wählen, damit
[mm] f(M)=X\setminus [/mm] M gerade die Menge N ergibt, daß also f(M)=N gilt?
Kleiner Tip: über all das, was ich Dir geschrieben habe, solltest Du nun mal mindestens eine Stunde nachdenken, bevor Du eine Rückfrage stellst.
Ein Pingpongspiel bringt nämlich gar nichts in diesem Zusammenhang.
LG Angela
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okay
also theoretisch kommt für die Menge M für f(M)={2,3} ja nur die Menge {2,3} in Frage oder?
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> okay
> also theoretisch kommt für die Menge M für f(M)={2,3} ja
> nur die Menge {2,3} in Frage oder?
Hallo,
meine Güte!
Berechne doch mal [mm] f(\{2,3\}).
[/mm]
Dann siehst Du doch, ob das Gewünschte rauskommt.
Was meinst Du mit "theoretisch"?
LG Angela
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wie lautet denn meine Funktion wo ich die Werte 2 und 3 einsetzte?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:50 So 27.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> wie lautet denn meine Funktion wo ich die Werte 2 und 3
> einsetzte?
Angela schrieb nicht, dass du die Werte $2$ und $3$ in $f$ einsetzen sollst (was gar nicht ginge), sondern den Wert [mm] $\{2,3\}$.
[/mm]
Du solltest wirklich nacheinander das tun, was Angela dir in ihrer sehr guten und sehr ausführlichen Antwort empfohlen hat.
Fange also mit dem Beispiel [mm] $X=\{a,b,c\}$ [/mm] an genau das zu tun, was sie dir in dieser Antwort empfohlen hat.
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achso. ich nehme mal an für f(M)={2,3} ist [mm] M={x\M} [/mm] richtig? also kann ich alle Werte außer 2 und 3 einsetzten oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:53 So 27.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> achso. ich nehme mal an für f(M)={2,3} ist [mm]M={x\M}[/mm]
> richtig? also kann ich alle Werte außer 2 und 3 einsetzten
> oder?
Du behauptest also [mm] $f(M)=\{2,3\}$ [/mm] für [mm] $M=X=\{1,2,3,4\}$. [/mm] Prüfen wir dies nach:
[mm] $f(M)=X\setminus M=\{1,2,3,4\}\setminus\{1,2,3,4\}=\emptyset\not=\{2,3\}$.
[/mm]
Deine Vermutung war also falsch.
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nein ich behaupte M={1,4,5,6} für F(M)={2,3} richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:01 So 27.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> nein ich behaupte M={1,4,5,6} für F(M)={2,3} richtig?
Für [mm]X=\{1,2,3,4\}[/mm] ist [mm]M=\{1,4,5,6\}[/mm] überhaupt keine Teilmenge von [mm]X[/mm]. Somit gilt nicht [mm]M\in\mathcal{P}(X)[/mm]. Also ist [mm]F(M)[/mm] überhaupt nicht definiert.
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entschuldigung die 5 und die 6 gehören überhaupt nicht dazu. ich meinte natürlich M={1,2} das stimmt oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:06 So 27.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> entschuldigung die 5 und die 6 gehören überhaupt nicht
> dazu. ich meinte natürlich M={1,2} das stimmt oder?
Falls du [mm]M=\{1,4\}[/mm] meinst, gilt in der Tat
[mm]f(M)=X\setminus M=\{1,2,3,4\}\setminus\{1,4\}=\{2,3\}[/mm].
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ja so meinte ich das. und f(M)={4} lautet dann M={1,2,3}
was soll ich als nächstes tuen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:38 So 27.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> ja so meinte ich das. und f(M)={4} lautet dann M={1,2,3}
Ja, für [mm]M=\{1,2,3\}[/mm] gilt [mm]f(M)=\{4\}[/mm].
Wie bist du darauf gekommen?
Siehst du irgendeine "Regelmäßigkeit"?
> was soll ich als nächstes tuen?
Sei nun [mm]N\in\mathcal{P}(X)[/mm] (d.h. [mm]N\subseteq X[/mm]) beliebig.
Findest du auch dafür ein [mm]M\in\mathcal{P}(X)[/mm] (d.h. [mm]M\subseteq X[/mm]) mit [mm]f(M)=N[/mm]?
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Ja, die Regelmäßigkeit habe ich erkannt und sie kommt augfrund von [mm] M\x [/mm] zustande
2. Ich würde für N an dieser Stelle den Ausdruck [mm] M\x [/mm] ersetzten. stimmt das? oder was muss ich an dieser Stelle einsetzten?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:09 So 27.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Ja, die Regelmäßigkeit habe ich erkannt und sie kommt
> augfrund von [mm]M\x[/mm] zustande
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") Welche Regelmäßigkeit hast du denn festgestellt?
Du hast für verschiedene Beispiele für [mm]N\subseteq X[/mm] ein passendes [mm]M\subseteq X[/mm] mit [mm]f(M)=N[/mm] gefunden.
Nach welcher Regelmäßigkeit scheint das zu funktionieren?
> 2. Ich würde für N an dieser Stelle den Ausdruck [mm]M\x[/mm]
> ersetzten.
[mm]X\setminus M[/mm] meinst du sicherlich anstelle von [mm]M\setminus X[/mm].
> stimmt das? oder was muss ich an dieser Stelle
> einsetzten?
Damit [mm]f(M)=N[/mm] gilt, muss in der Tat [mm]N=M\setminus X[/mm] gelten.
Bei der Frage nach Surjektivität geht es aber nicht darum, ob zu jedem [mm]M\subseteq X[/mm] ein [mm]N\subseteq X[/mm] mit [mm]f(M)=N[/mm] existiert (das gilt sowieso, weil [mm]f[/mm] eine Abbildung ist), sondern die Frage ist: Existiert zu jedem [mm]N\subseteq X[/mm] ein [mm]M\subseteq X[/mm] mit [mm]f(M)=N[/mm]?
In der Tat ist dies der Fall. Das gilt es nun zu beweisen.
Sei also ein [mm]N\subseteq X[/mm] vorgegeben.
Wir müssen ein [mm]M\subseteq X[/mm] mit [mm]f(M)=N[/mm] finden.
Die Regelmäßigkeit im Beispiel lässt vermuten, dass [mm]M:=\ldots[/mm] (was muss anstelle der Pünktchen hier hin?) tatsächlich [mm]f(M)=N[/mm] erfüllt.
Das gilt es dann zu überprüfen.
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Die Punkte würde ich jetzt durch [mm] x\M [/mm] ersetzten
allerdings frage ich mich wie ich dies überprüfen soll da ich ja keine Zahlen vorgegeben habe die die Menge x enthält
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:28 So 27.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Die Punkte würde ich jetzt durch [mm]x\setminus M[/mm] ersetzten
> allerdings frage ich mich wie ich dies überprüfen soll
> da ich ja keine Zahlen vorgegeben habe die die Menge x
> enthält
Wir haben [mm]N[/mm] gegeben und suchen ein geeignetes [mm]M[/mm] dazu. Zur Definition von [mm]M[/mm] kannst du natürlich nicht [mm]M[/mm] verwenden.
Aber [mm]M:=X\setminus N[/mm] wird das Gewünschte (nämlich [mm]f(M)=N[/mm]) leisten.
Es gilt
[mm]f(M)=X\setminus M=X\setminus(X\setminus N)[/mm].
Wir müssen also
(*) [mm]X\setminus(X\setminus N)=N[/mm]
zeigen.
Dazu müssen wir zeigen, dass [mm]X\setminus(X\setminus N)\subseteq N[/mm] und [mm]X\setminus(X\setminus N)\supseteq N[/mm] gelten.
Ich führe dir mal [mm]X\setminus(X\setminus N)\supseteq N[/mm] vor:
Sei [mm]x\in N[/mm].
Zeigen müssen wir [mm]x\in X\setminus(X\setminus N)[/mm], d.h. [mm]x\in X[/mm] und [mm]x\notin X\setminus N[/mm].
Wegen [mm]x\in N[/mm] gilt tatsächlich [mm]x\notin X\setminus N[/mm].
Wegen [mm]x\in N[/mm] und [mm]N\subseteq X[/mm] gilt auch [mm]x\in X[/mm].
Versuche du nun einmal [mm]X\setminus(X\setminus N)\subseteq N[/mm] zu zeigen.
Sei also [mm]x\in X\setminus(X\setminus N)[/mm].
Zu zeigen ist [mm]x\in N[/mm].
Was bedeutet [mm]x\in X\setminus (X\setminus N)[/mm]?
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ich stehe leider gerade etwas am Schlauch wie ich dies zeigen soll. ich weiß allerdings das
x [mm] \varepsilon [/mm] X\ [mm] (X\N) [/mm] das gleiche ist wie x\ [mm] (X\M)
[/mm]
könnten wie mir den 2. Beweis bitte auch noch vorführen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:48 So 27.10.2013 | | Autor: | M.Rex |
> ich stehe leider gerade etwas am Schlauch wie ich dies
> zeigen soll. ich weiß allerdings das
> x [mm]\varepsilon[/mm] X\ [mm](X\N)[/mm] das gleiche ist wie x\ [mm](X\M)[/mm]
Das ist falsch. Bei [mm] x\in X\setminus(X) [/mm] ist x ein Element aus einer Menge, [mm] x\setminus(X) [/mm] ist gar nicht definiert, wenn x nicht selber eine Menge wäre.
> könnten wie mir den 2. Beweis bitte auch noch vorführen?
Nein, wenn du den ersten Beweis sauber verstanden hast, ist der zweite nicht schwer. Wenn du etwas weniger "chatten" würdest, sondern die Antworten gründlicher lesen würdest, sollte das kein Problem darstellen.
Du scheinst die Begriffe Injektivität, Surjektiviät und die Bijektivität noch überhaut nicht (oder nicht mehr) "auf dem Schirm zu haben".
Mach doch erstmal eine der Aufgaben, die du hier gerade gleichzeitig laufen hast, sauber zuende, und dann kannst du dich den anderen Aufgaben widmen, die Fehler sind oftmals dieselben.
Arbeite als etwas gründlicher, immerhin schreibst du in deinem Profil, dass du im Hauptstudium bist.
Marius
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okay ich habe drüber nachgedacht und würde jetzt den 2. Beweis durchführen:
es gilt: X [mm] \varepsilon X\setminus (X\setminus [/mm] N)
zeige X [mm] \varepsilon [/mm] N
wegen M = [mm] X\setminus [/mm] N gilt auch X [mm] \varepsilon X\setminus [/mm] M
wegen [mm] X\M= [/mm] f(M) gilt auch X [mm] \varepsilon [/mm] f(M)
wegen f(M)=N gilt auch X [mm] \varepsilon [/mm] N
stimmt das so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:43 Mo 28.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> okay ich habe drüber nachgedacht und würde jetzt den 2.
> Beweis durchführen:
> es gilt: X [mm]\varepsilon X\setminus (X\setminus[/mm] N)
> zeige X [mm]\varepsilon[/mm] N
Unterscheide sauber zwischen x (kleines x) und X (großes X).
Groß X war z.B. [mm]X=\{1,2,3,4\}[/mm], klein x bezeichnet das Element von [mm]x\in X\setminus(X\setminus N)[/mm], von dem wir [mm]x\in N[/mm] zeigen wollen.
> wegen M = [mm]X\setminus[/mm] N gilt auch X [mm]\varepsilon X\setminus[/mm] M
[mm]M=X\setminus N[/mm] stimmt, so hatten wir [mm]M[/mm] ja gewählt.
Also gilt in der Tat [mm]x\in X\setminus(X\setminus N)=X\setminus M[/mm].
> wegen [mm]X\M=[/mm] f(M)
Das stimmt nicht.
> gilt auch X [mm]\varepsilon[/mm] f(M)
Folgerichtig, wenn du ein kleines [mm]x[/mm] meinst.
(Warum gilt [mm]x\in X[/mm]?)
> wegen f(M)=N gilt auch X [mm]\varepsilon[/mm] N
Folgerichtig.
> stimmt das so?
Leider nein.
Du brauchst weder die Menge [mm]M[/mm], noch die Abbildung [mm]f[/mm] ins Spiel zu bringen; zu zeigen ist nur, dass aus [mm]x\in X\setminus(X\setminus N)[/mm] bereits [mm]x\in N[/mm] folgt.
Daher noch einmal meine Frage:
Was bedeutet [mm]x\in X\setminus(X\setminus N)[/mm] eigentlich?
Es bedeutet [mm]x\in X[/mm] und [mm]x\notin\ldots[/mm].
Was musst du wohl für die Pünktchen einsetzen?
Wende nur die Definition vom linken [mm]\setminus[/mm] innerhalb von [mm]x\in X\setminus(X\setminus N)[/mm] an.
(Wie ist [mm]X\setminus(X\setminus N)[/mm] nämlich definiert?)
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für die Pünktchen setzte ich doch [mm] X\setminus [/mm] N ein richtig?
und [mm] X\setminus (X\setminus [/mm] N) ist definiert als [mm] X\setminus [/mm] M oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:36 Mo 28.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> für die Pünktchen setzte ich doch [mm]X\setminus[/mm] N ein
> richtig?
Genau! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Also haben wir [mm]x\in X[/mm] (*) und [mm]x\notin X\setminus N[/mm].
[mm]x\notin X\setminus N[/mm] bedeutet, dass NICHT
[mm]x\in X[/mm] und [mm]x\notin N[/mm]
gilt.
Da aber [mm]x\in X[/mm] gemäß (*) gilt, muss [mm]x\notin N[/mm] falsch sein (denn sonst hätten wir doch [mm]x\in X[/mm] und [mm]x\notin N[/mm].)
Also gilt [mm]x\in N[/mm] (denn sonst hätten wir doch [mm]x\notin N[/mm]).
Wenn dir etwas unklar ist, zögere bitte nicht, nachzufragen!
> und [mm]X\setminus (X\setminus[/mm] N) ist definiert als [mm]X\setminus[/mm]
> M oder?
[mm]M[/mm] ist so definiert (nämlich durch [mm]M:=X\setminus N[/mm]), dass in der Tat [mm]X\setminus(X\setminus N)=X\setminus M[/mm] gilt.
Aber das hilft uns hier nicht weiter, denn wir wollen ja gerade [mm]x\in N[/mm] und nicht irgendetwas über [mm]M[/mm] zeigen.
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danke. das verstehe ich. mir ist nur unklar wieso das ein Beweis dafür ist das dieser Teil eine Teilmenge von N ist oder N eine Teilmenge dieses Teil ist. kannst du mir das erläutern? denn das waren ja die beiden Aussagen die wir beweisen wollten
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:17 Mo 28.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> danke. das verstehe ich. mir ist nur unklar wieso das ein
> Beweis dafür ist das dieser Teil eine Teilmenge von N ist
> oder N eine Teilmenge dieses Teil ist. kannst du mir das
> erläutern? denn das waren ja die beiden Aussagen die wir
> beweisen wollten
Gut, dass du nachfragst!
Wir wollten zuletzt [mm]X\setminus (X\setminus N)\subseteq N[/mm] zeigen.
Was bedeutet [mm]X\setminus (X\setminus N)\subseteq N[/mm] nach Definition von [mm]\subseteq[/mm]?
Es bedeutet:
(*) Für alle [mm]x\in X\setminus (X\setminus N)[/mm] gilt auch [mm]x\in N[/mm].
Um (*) nun zu zeigen, haben wir mittels "Sei [mm]x\in X\setminus(X\setminus N)[/mm]." ein beliebig vorgegebenes [mm]x\in X\setminus(X\setminus N)[/mm] betrachtet.
Für dieses [mm]x[/mm] haben wir dann [mm]x\in N[/mm] gezeigt.
Da [mm]x\in X\setminus(X\setminus N)[/mm] beliebig vorgegeben war, folgt dann [mm]x\in N[/mm] schon für ALLE [mm]x\in X\setminus(X\setminus N)[/mm].
Das ist aber genau die Aussage (*), die wir zeigen wollten.
Allgemein:
Um [mm]A\subseteq B[/mm] für irgendwelche Mengen [mm]A[/mm] und [mm]B[/mm] zu zeigen, betrachte ein beliebig vorgegebenes Element [mm]x\in A[/mm] und zeige für dieses [mm]x[/mm], dass auch [mm]x\in B[/mm] gilt.
Weil [mm]x\in A[/mm] beliebig vorgegeben war, folgt dann [mm]x\in B[/mm] schon für ALLE [mm]x\in A[/mm].
Das bedeutet aber [mm]A\subseteq B[/mm].
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 21:15 Mo 28.10.2013 | | Autor: | Robin1990 |
kannst du mir vielleicht noch hierbei helfen
Zeigen sie das folgende Abbildung:
f : ℕ0 ×ℕ0 ∋ (k; l) →k + (1/2)(k + l)(k + l + 1) ∋ ℕ0
bijektiv ist.
dein letzter Ansatz war mir nicht ganz deutlich. ich hätte jetzt einfach k1und l1 auf der einen Seite und k2 und l2 auf der anderen Seite einsetzten. weiß aber nicht wie ich weiter auflösen soll. und das wäre ja auch nur die injektivität. kannst du mir da helfen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:18 Di 29.10.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo Robin!
Bitte eröffne für eine neue / eigenständige Aufgabe auch einen eigenständigen Thread.
Dieser Thread wird nicht gerade übersichtlicher.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:31 Di 29.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hi Loddar!
> Bitte eröffne für eine neue / eigenständige Aufgabe auch
> einen eigenständigen Thread.
> Dieser Thread wird nicht gerade übersichtlicher.
Es ist sogar noch unübersichtlicher: Es gibt zu dieser "neuen" Aufgabe schon einen anderen alten Thread.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:27 Di 29.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> kannst du mir vielleicht noch hierbei helfen
> Zeigen sie das folgende Abbildung:
>
> f : ℕ0 ×ℕ0 ∋ (k; l) →k + (1/2)(k + l)(k + l + 1)
> ∋ ℕ0
>
> bijektiv ist.
Stelle deine Fragen bitte im entsprechenden Thread.
> dein letzter Ansatz war mir nicht ganz deutlich. ich hätte
> jetzt einfach k1und l1 auf der einen Seite und k2 und l2
> auf der anderen Seite einsetzten. weiß aber nicht wie ich
> weiter auflösen soll.
Frag bitte im entsprechenden Thread mit Zitat der Stelle, die genau unklar ist, konkret nach.
> und das wäre ja auch nur die
> injektivität. kannst du mir da helfen?
Auch hier gilt: Stelle bitte konkretere Nachfragen im anderen Thread.
Zur Frage, ob auch ein Beweis ohne Ungleichungen möglich ist, bin ich überfragt.
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