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| Aufgabe | | Erfüllt das Feld [mm] \vec{E} [/mm] die hinreichende Potenzialbedingung? Versuchen Sie, ein Potenzial zu berechnen. |
Also: [mm] \vec{E} [/mm] ist gegeben durch
[mm] \vec{E}=\bruch{\lambda}{2\pi \epsilon_{0} r^{2}}*\vektor{x \\ y \\ 0} [/mm] mit [mm] r^{2}=x^{2}+y^{2}
[/mm]
Die notwendige Bedingung [mm] (rot\vec{E}=0) [/mm] wurde schon bewiesen. Die hinreichende Bedingung ist ja, dass [mm] \vec{E} [/mm] konvex ist. Durch die Zylinderform um die z-Achse ist das ja schonmal gegeben. Nun geht es also daran das Potenzial zu berechnen. Hier ist die Formel:
- grad [mm] U=\vec{E} [/mm] gegeben.
[mm] -\bruch{dU}{dx}=\bruch{\lambda}{2\pi \epsilon_{0}}*\bruch{x}{x^{2}+y^{2}}
[/mm]
[mm] U=-\bruch{\lambda}{2\pi \epsilon_{0}}*\integral_{}^{}{\bruch{x}{x^{2}+y^{2}} dx} [/mm]
da das Integral von [mm] \integral_{}^{}{\bruch{f'(x)}{f(x)} dx}=ln(f(x))
[/mm]
[mm] U=-\bruch{\lambda}{4\pi \epsilon_{0}}*ln(x^{2}+y^{2})+g(y)
[/mm]
Ist das soweit richtig?
Jetzt gilt ja auch:
[mm] -\bruch{dU}{dy}=\bruch{\lambda}{2\pi \epsilon_{0}}*\bruch{y}{x^{2}+y^{2}}
[/mm]
eingesetzt:
[mm] \bruch{d(\bruch{\lambda}{4\pi \epsilon_{0}}*ln(x^{2}+y^{2})+g(y))}{dy}=\bruch{\lambda}{2\pi \epsilon_{0}}*\bruch{y}{x^{2}+y^{2}}
[/mm]
[mm] \bruch{\lambda}{2\pi \epsilon_{0}}*2y*ln(x^{2}+y^{2})*\bruch{1}{x^{2}+y^{2}}+g(y)=\bruch{\lambda}{2\pi \epsilon_{0}}*\bruch{y}{x^{2}+y^{2}}
[/mm]
Das ganze müsste man jetzt nach g(y) umstellen, aber da weiß ich wirklich nicht wie.
Kan mir da jemand helfen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:13 Do 29.01.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Erfüllt das Feld [mm]\vec{E}[/mm] die hinreichende
> Potenzialbedingung? Versuchen Sie, ein Potenzial zu
> berechnen.
> Also: [mm]\vec{E}[/mm] ist gegeben durch
> [mm]\vec{E}=\bruch{\lambda}{2\pi \epsilon_{0} r^{2}}*\vektor{x \\ y \\ 0}[/mm]
> mit [mm]r^{2}=x^{2}+y^{2}[/mm]
>
> Die notwendige Bedingung [mm](rot\vec{E}=0)[/mm] wurde schon
> bewiesen. Die hinreichende Bedingung ist ja, dass [mm]\vec{E}[/mm]
> konvex ist. Durch die Zylinderform um die z-Achse ist das
> ja schonmal gegeben. Nun geht es also daran das Potenzial
> zu berechnen. Hier ist die Formel:
> - grad [mm]U=\vec{E}[/mm] gegeben.
>
> [mm]-\bruch{dU}{dx}=\bruch{\lambda}{2\pi \epsilon_{0}}*\bruch{x}{x^{2}+y^{2}}[/mm]
OK, bis auf die Tatsache, dass links eine partielle Ableitung steht, keine totale.
> 4
> [mm]U=-\bruch{\lambda}{2\pi \epsilon_{0}}*\integral_{}^{}{\bruch{x}{x^{2}+y^{2}} dx}[/mm]
>
> da das Integral von [mm]\integral_{}^{}{\bruch{f'(x)}{f(x)} dx}=ln(f(x))[/mm]
>
> [mm]U=-\bruch{\lambda}{4\pi \epsilon_{0}}*ln(x^{2}+y^{2})+g(y)[/mm]
>
> Ist das soweit richtig?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Jetzt gilt ja auch:
> [mm]-\bruch{dU}{dy}=\bruch{\lambda}{2\pi \epsilon_{0}}*\bruch{y}{x^{2}+y^{2}}[/mm]
>
> eingesetzt:
> [mm]\bruch{d(\bruch{\lambda}{4\pi \epsilon_{0}}*ln(x^{2}+y^{2})+g(y))}{dy}=\bruch{\lambda}{2\pi \epsilon_{0}}*\bruch{y}{x^{2}+y^{2}}[/mm]
>
> [mm]\bruch{\lambda}{2\pi \epsilon_{0}}*2y*ln(x^{2}+y^{2})*\bruch{1}{x^{2}+y^{2}}+g(y)=\bruch{\lambda}{2\pi \epsilon_{0}}*\bruch{y}{x^{2}+y^{2}}[/mm]
Da hast du falsch abgelitten, denn links steht
[mm] \bruch{\lambda}{2\pi \epsilon_{0}} \bruch{y}{x^2+y^2} + g'(y) [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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