Potenzgesetz Umformung < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechne den Grenzwert:
n^2n+1
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[mm] (n^2+1)^n [/mm] |
Hallo,
Ich verstehe wieder einen Zwischenschritt nicht:
Es ist der erste Schritt udn es wir n^2n ausgeklammert:
n^2n( 1 / n^2n + 1)
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n^2n( 1 + 1 / [mm] n^2 )^n
[/mm]
ps.: Entschuldigung für diese Darstellung, aber ich komme mit dem Formeledtior noch nicht so ganz klar. Ich hoffe es ist trotzdem nachvollziehbar.
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Hallo Stephan,
klicke mal auf meine folgenden Formeln, dann siehst du wie du's beim nächsten Mal eingeben musst 
Also du hast [mm] $\bruch{n^{2n}+1}{\left(n^2+1\right)^n}$
[/mm]
Das Ausklammern im Zähler ist ok, oder?
[mm] $n^{2n}+1=n^{2n}\cdot{}\left(1+\bruch{1}{n^{2n}}\right)$
[/mm]
Im Nenner mache ich mal einen Zwischenschritt, dann sieht man's besser:
Zuerst [mm] $n^2$ [/mm] innerhalb der Klammer ausklammern - hmm doppelt gemoppelt, naja hält besser
[mm] $(n^2+1)^{n}=\left[n^2\cdot{}\left(1+\bruch{1}{n^2}\right)\right]^n$
[/mm]
Nun das Potenzgesetz [mm] $(a\cdot{}b)^n=a^n\cdot{}b^n$ [/mm] anwenden mit [mm] $a=n^2, b=\left(1+\bruch{1}{n^2}\right)$
[/mm]
[mm] $...=\left(n^2\right)^n\cdot{}\left(1+\bruch{1}{n^2}\right)^n$
[/mm]
Nun noch das Potenzgesetz [mm] $\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot{}n}$ [/mm] anwenden auf den ersten Term:
[mm] $=n^{2n}\cdot{}\left(1+\bruch{1}{n^2}\right)^n$
[/mm]
Also insgesamt [mm] $\bruch{n^{2n}+1}{\left(n^2+1\right)^n}=\bruch{n^{2n}\cdot{}\left(1+\bruch{1}{n^{2n}}\right)}{n^{2n}\cdot{}\left(1+\bruch{1}{n^2}\right)^n}$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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