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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:01 So 16.11.2008 | | Autor: | Fuchsschwanz |
Hallo!
ich brauche für eine Aufgabe das Potenzgesetz. dabei betrachte ich allerdings elemente von Gruppen...kann ich das da anwenden und wenn ja wie beweisen? habe gefunden, dass man dies durch Induktion beweisen kann. wenn ich zwei Element [mm] a^n [/mm] und [mm] a^m [/mm] habe, muss ich dann bei beiden n+1/m+1 betrachten oder nur bei n? wenn ja warum?
wenn ich nun nur n+1 betrachte, dann hätte ich da stehen:
[mm] a^{n+1}*a^n=a^n*a^1*a^m=a^n*a^m*a^1, [/mm] darf ich dass dann schreiben als a^(n+m+1)? wenn ja warum?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:25 So 16.11.2008 | | Autor: | pelzig |
> Hallo!
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> ich brauche für eine Aufgabe das Potenzgesetz. dabei
> betrachte ich allerdings elemente von Gruppen...kann ich
> das da anwenden und wenn ja wie beweisen? habe gefunden,
> dass man dies durch Induktion beweisen kann. wenn ich zwei
> Element [mm]a^n[/mm] und [mm]a^m[/mm] habe, muss ich dann bei beiden n+1/m+1
> betrachten oder nur bei n? wenn ja warum?
Du machst Induktion über $n$. Dann musst du im Induktionsanfang zeigen [mm] $\forall m\in\IN:aa^m=a^{m+1}$. [/mm] Im Induktionsschritt musst du zeigen, wenn für alle [mm] $m\in\IN$ [/mm] gilt [mm] $a^na^m=a^{n+m}$, [/mm] dann gilt auch für alle [mm] $m\in\IN: a^{n+1}a^m=a^{n+m+1}$.
[/mm]
> wenn ich nun nur n+1 betrachte, dann hätte ich da stehen:
> [mm]a^{n+1}*a^m=a^n*a^1*a^m=a^n*a^m*a^1,[/mm] darf ich dass dann
> schreiben als a^(n+m+1)? wenn ja warum?
[mm] $a^na^ma^1=a^{n+m}a^1$ [/mm] nach Induktionsvoraussetzung, und das ist nach Definition gleich [mm] $a^{n+m+1}$.
[/mm]
Ich frage mich eher ob dir klar ist, warum [mm] $a^na^1a^m=a^na^ma^1$ [/mm] ist... was ist wenn die Gruppe nicht-abelsch ist?
Gruß, Robert
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dann kann ich den Schritt so natürlich nicht anwenden...
"$ [mm] a^na^ma^1=a^{n+m}a^1 [/mm] $ nach Induktionsvoraussetzung, und das ist nach Definition gleich $ [mm] a^{n+m+1} [/mm] $."
welche Defintion meinst du?
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wbei darf ich ihn dann nicht trotzdem anwenden, weil ich eine Potenz von gleichen Zahlen betrachte?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:02 Mo 17.11.2008 | | Autor: | Denny22 |
Wer ist "ihn"?
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den Schritt, ich einfach das Kommutativgesetz angewandt hab 
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:42 Mo 17.11.2008 | | Autor: | Denny22 |
Hallo
1) Wenn ich Dir eine Mitteilung schreibe, um nähere Informationen zu Deiner Frage zu erhalten, bitte ich Dich zukünftig darum, nicht ständig neue offene Fragen zu erstellen, sondern mir mit einer Mitteilung zu antworten.
2) Wo brauchst Du denn Kommutativität? Die brauchst Du gar nirgends. Diese verwende mal induktiv das Assoziativgesetz, dann gilt das trivialerweise. Du brauchst lediglich
- Definition der Multiplikation
- Assoziativität (aus den Gruppeneigenschaften)
- Induktionsvoraussetzung
- Induktionsanfang
[mm] $a^{n+1}a^m$
[/mm]
[mm] $=(a\cdot a^n)\cdot a^m$ [/mm] (Definition der Multiplikation)
[mm] $=a\cdot(a^n\cdot a^m)$ [/mm] (Assotiativität)
[mm] $=a\cdot a^{n+m}$ [/mm] (Induktionsvoraussetzung)
[mm] $=a^{1+n+m}$ [/mm] (Induktionsanfang)
Mache Dir bewusst, dass Gleichung, in die die Assoziativität eingeht, gilt. Tatsächlich ist die Assoziativität induktiv eingegangen, d.h. es sind an dieser Stelle mehr als eine Anwendung des Assoziativitätgesetzes notwendig. Die Anzahl der Anwendungen hängt von $n$ ab. Denk mal darüber nach.
Gruß
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Hallo Denny!
Vielen lieben Dank für deine Antwort!
Habe leider immer noch eine Frage zur zweiten Zeile:
$ [mm] a^{n+1}a^m [/mm] $
$ [mm] =(a\cdot a^n)\cdot a^m [/mm] $
Müsste nicht eigentlich gelten: [mm] a^{n+1}=a^n*a^1? [/mm] Sonst bräuchte ich das Kommutativ gesetz ja nicht.
Und dann habe ich noch eine generelle Frage, ich brauche das Potenzgesetz um zu zeigen, dass jede zyklische Gruppe abelsch ist, in einer zyklischen Gruppe kann das n doch aber auch negativ sein? die Induktion gilt doch jetzt aber nur für die natürlichen Zahlen, oder? könnte ich generell statt der Induktin auch einfach schreiben [mm] a^n*a^m= [/mm] (a*a*a..)*(a*a*a....) also jeweils m und m mal die Verknüpfung von a und dann Assoziativgesetz anwenden?
Vielen Dank für deine Mühe!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:39 Mo 17.11.2008 | | Autor: | Denny22 |
> Vielen lieben Dank für deine Antwort!
>
> Habe leider immer noch eine Frage zur zweiten Zeile:
>
> [mm]a^{n+1}a^m[/mm]
> [mm]=(a\cdot a^n)\cdot a^m[/mm]
>
> Müsste nicht eigentlich gelten: [mm]a^{n+1}=a^n*a^1?[/mm] Sonst
> bräuchte ich das Kommutativ gesetz ja nicht.
Nein, das brauchst Du nicht. Denn betrachte doch zum Beispiel mal [mm] $a^3$. [/mm] Dort gilt:
[mm] $a^3=a\cdot(a\cdot a)=a\cdot a^2$
[/mm]
wegen der Assoziativität gilt aber auch
[mm] $a\cdot (a\cdot a)=(a\cdot a)\cdot [/mm] a= [mm] a^2\cdot [/mm] a$
Damit ist
[mm] $a^3=a\cdot(a\cdot a)=(a\cdot a)\cdot [/mm] a$
Wenn Du das induktiv machst, erhälst Du aus der Assoziativität
[mm] $a^n=a\cdot a^n=a^n\cdot [/mm] a$
Jetzt verständlicher?
> Und dann habe ich noch eine generelle Frage, ich brauche
> das Potenzgesetz um zu zeigen, dass jede zyklische Gruppe
> abelsch ist,
Siehe mal nach
http://www.uni-math.gwdg.de/skripten/Algebraskript/algebra.pdf
> in einer zyklischen Gruppe kann das n doch
> aber auch negativ sein? die Induktion gilt doch jetzt aber
> nur für die natürlichen Zahlen, oder? könnte ich generell
> statt der Induktin auch einfach schreiben [mm]a^n*a^m=[/mm]
> (a*a*a..)*(a*a*a....) also jeweils m und m mal die
> Verknüpfung von a und dann Assoziativgesetz anwenden?
Ich verstehe nicht genau, worauf Du hinaus möchtest. Wieso negativ? Siehe Dir mal die Definition einer zyklischen Gruppe an. Und wieso wendest Du das Assoziativgesetz nicht so an wie ich es Dir beschrieben habe?
>
> Vielen Dank für deine Mühe!
Gruß
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http://de.wikipedia.org/wiki/Zyklische_Gruppe guck dir da mal die Defintion von der zyklischen Gruppe an, da ist n doch entweder positiv oder negativ, oder? wir haben in der Vorlesung zyklische Gruppen nicht definert, von daher bin ich jetzt mal von wikipedia ausgegangen...
ich meinte im zweiten Teil, warum ich das Induktiv beweisen muss und kein zeigen ala [mm] a^3*a^2=(a*a)*(a*a*a) [/mm] (also natürlich mit m und n ,nicht mit konkreten Zahlen) ausreicht...ist es um zu zeigen, dass es wirklich für alle natürlichen Zahlen gilt und nicht nur für zwei ausgewählte m und n?
danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:19 Di 18.11.2008 | | Autor: | pelzig |
> ich meinte im zweiten Teil, warum ich das Induktiv beweisen
> muss und kein zeigen ala [mm]a^3*a^2=(a*a)*(a*a*a)[/mm] (also
> natürlich mit m und n ,nicht mit konkreten Zahlen)
> ausreicht...ist es um zu zeigen, dass es wirklich für alle
> natürlichen Zahlen gilt und nicht nur für zwei ausgewählte
> m und n?
Es ist einfach kein Beweis im streng mathematischen Sinne, denn woher weißt du, dass: [mm] $\underbrace{(a\cdot a\cdot...\cdot a)}_{n-\text{mal}}\cdot\underbrace{(a\cdot a\cdot...\cdot a)}_{m-\text{mal}}=\underbrace{(a\cdot a\cdot...\cdot a)}_{n+m-\text{mal}}$?
[/mm]
Das ist ein anschauliches Argument, aber wenn man sich nur auf die Axiome der natürlichen Zahlen beruft, dann ist das einfach kein gültiger Schluss. Solche "Beweise" hat man vielleicht in der Schule gemacht, aber sie sind trotzdem schlichtweg falsch. Auch die Sprechweise "n-mal" macht erstmal überhaupt keinen Sinn, deshalb kann man auch nicht einfach [mm] $a^n:=\underbrace{(a\cdot a\cdot...\cdot a)}_{n-\text{mal}}$ [/mm] definieren, sondern macht das ganze rekursiv durch [mm] $a^1:=a$ [/mm] und [mm] $a^{n+1}=a\cdot a^n$. [/mm] Dass solche rekursiven Definitionen okay sind, d.h. dass es genau eine Funktion gibt die diese Bedingungen erfüllt, ist auch keinesfalls trivial und bedarf eines Beweises (Rekursionssatz). Auch Addition und Multiplikation werden rekursiv definiert, und alle Rechenregeln wie Kommutativität, Assoziativität, Distributivität usw. müssen durch vollst. Induktion bewiesen werden.
Um eine Aussage für alle natürlichen Zahlen zu beweisen hat man i.A. nur die Möglichkeit diese aus bereits bekannten Aussagen für alle natürlichen Zahlen abzuleiten oder durch Induktion. Das Induktionsprinzip ist "quasi als Axiom" (es ist etwas versteckt) in den Axiomen der natürlichen Zahlen verankert, d.h. die natürlichen Zahlen erfüllen nach Definition das Induktionsprinzip - beweisen kann man es nicht. Dass dieses Axiomsystem überhaupt widerspruchsfrei ist, kann man nicht so ohne weiteres beweisen...
Hoffe ich konnte dich etwas für diese Problematik sensibilisieren.
Gruß, Robert
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:42 Mo 17.11.2008 | | Autor: | Denny22 |
Siehe meine Antwort
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:02 Mo 17.11.2008 | | Autor: | Denny22 |
Er meint: "nach Definition der Multiplikation".
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