Potenzen natürlicher Zahlen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:09 Do 26.05.2011 | | Autor: | clemenum |
| Aufgabe | Man zeige:
Gilt $ab = [mm] c^n$ [/mm] (mit $a,b,c,n [mm] \in \mathbb{N}$ [/mm] und $ggT(a,b) = 1$), so sind $a$ und $b$ ebenfalls n-te Potenzen natürlicher Zahlen. |
Beweis:
Betrachtet man die Primfaktorenzerlegungen von a und b, so hat doch voraussetzungsgemäß $ab$ nur gleiche Faktoren. Haben a und b jedoch keinerlei Primfaktoren gemeinsam, so muss doch - um trotzdem [mm] $a\cdot [/mm] b$ zu einer n-ten Potenz einer natürlichen Zahl zu machen - entweder a oder b 1 sein und a oder b eine n-te Potenz sein. Da wegen [mm] $1^n [/mm] = 1, $ 1 auch als eine n-te Potenz geschrieben werden kann, sind damit sowohl a als auch b n-te Potenzen.
Meine Frage: Wie könnte ich meine obigen Beweis formal führen (es ändert sich dann dabei doch nichts an der Exaktheit - oder)?
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> Man zeige:
> Gilt [mm]ab = c^n[/mm] (mit [mm]a,b,c,n \in \mathbb{N}[/mm] und [mm]ggT(a,b) = 1[/mm]),
> so sind [mm]a[/mm] und [mm]b[/mm] ebenfalls n-te Potenzen natürlicher
> Zahlen.
> Beweis:
> Betrachtet man die Primfaktorenzerlegungen von a und b, so
> hat doch voraussetzungsgemäß [mm]ab[/mm] nur gleiche Faktoren. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Was meinst du damit ?
Ich vermute, dass du da etwas übersiehst.
> Haben a und b jedoch keinerlei Primfaktoren gemeinsam, so
> muss doch - um trotzdem [mm]a\cdot b[/mm] zu einer n-ten Potenz
> einer natürlichen Zahl zu machen - entweder a oder b 1
> sein und a oder b eine n-te Potenz sein. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Betrachte einmal das Beispiel mit a=8 , b=27 (teilerfremd !)
und $\ [mm] a*b=216=6^3$ [/mm] !
> Da wegen [mm]1^n = 1,[/mm]
> 1 auch als eine n-te Potenz geschrieben werden kann, sind
> damit sowohl a als auch b n-te Potenzen.
>
> Meine Frage: Wie könnte ich meine obigen Beweis formal
> führen (es ändert sich dann dabei doch nichts an der
> Exaktheit - oder)?
Für einen Beweis ist in allererster Linie die (oder eine)
richtige Beweisidee nötig. Wie "formal" der Beweis dann
aufgeschrieben wird, ist sekundär.
LG Al-Chw.
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