Potenzen < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:07 Do 02.08.2012 | | Autor: | JohnLH |
| Aufgabe | geg: [mm] A=\pmat{ 3 & -5 \\ 2 & -3 }
[/mm]
ges: [mm] A^{99} [/mm] und [mm] (A^{-1})^{99} [/mm] |
Eigenwerte:
[mm] T=\pmat{ 3+i & 2 \\ 3-i & 2}
[/mm]
D= [mm] \pmat{ i & 0 \\ 0 & -i}
[/mm]
[mm] D^{2}= \pmat{ -1 & 0 \\ 0 & 1}
[/mm]
[mm] D^{4}= \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1}
[/mm]
[mm] D^{99}= \pmat{ -i & 0 \\ 0 & -i}
[/mm]
Jetzt versuche ich [mm] T^{-1} [/mm] zu berechnen, um [mm] A^{99}=TD^{99} T^{-1} [/mm] zu kriegen, aber ich komme auf komische Rechnungen. Ist diese die einzige Art und Weise, dieses zu berechnen? Danke!
Auch würde ich gerne wissen, wie ich [mm] (A^{-1})^{99} [/mm] kriege. Ist es gleich wie [mm] A^{99}?
[/mm]
|
|
| |
|
Hallo JohnLH,
> geg: [mm]A=\pmat{ 3 & -5 \\
2 & -3 }[/mm]
>
> ges: [mm]A^{99}[/mm] und [mm](A^{-1})^{99}[/mm]
>
> Eigenwerte:
> [mm]T=\pmat{ 3+i & 2 \\
3-i & 2}[/mm]
??? Wie? Eigenwerte? Da steht ne komische Matrix, ist die vom Himmel gefallen? Poste doch bitte immer die Rechnungen oder sollen wir alles selber rechnen?
Die Eigenvektoren zu den Eigenwerten [mm]i[/mm] und [mm]-i[/mm] musst du als Spalten in die transformierende Matrix stopfen.
Ich habe nur den für [mm]i[/mm] überschlagsmäßig nachgerechnet, den scheinst du in die 1.Zeile gestopft zu haben ...
> D= [mm]\pmat{ i & 0 \\
0 & -i}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]D^{2}= \pmat{ -1 & 0 \\
0 & 1}[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
[mm](-i)^2=(-1)^2\cdot{}i^2=-1[/mm]
> [mm]D^{4}= \pmat{ 1 & 0 \\
0 & 1}[/mm]
>
> [mm]D^{99}= \pmat{ -i & 0 \\
0 & -i}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
>
> Jetzt versuche ich [mm]T^{-1}[/mm] zu berechnen, um [mm]A^{99}=TD^{99} T^{-1}[/mm]
> zu kriegen, aber ich komme auf komische Rechnungen.
Wieso? Zeig' mal her, die Rechnung, beachte die Hinweise zu [mm]T[/mm]
> diese die einzige Art und Weise, dieses zu berechnen?
Kannst es ja "zu Fuß" machen 
> Danke!
>
> Auch würde ich gerne wissen, wie ich [mm](A^{-1})^{99}[/mm] kriege.
> Ist es gleich wie [mm]A^{99}?[/mm]
Fast, bedenke, dass mit [mm]A=TDT^{-1}[/mm] dann [mm]A^{-1}=\left[TDT^{-1}\right]^{-1}=...[/mm] ist.
Dann analog wie für [mm]A^{99}[/mm]
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:50 Do 02.08.2012 | | Autor: | fred97 |
Das char. Polynom von A lautet:
[mm] \lambda^2+1
[/mm]
Nach Cayley- Hamilton ist [mm] A^2=-I
[/mm]
Hilft das ?
FREd
|
|
|
| |
|
[mm] A^{99} [/mm] erscheint etwas abschreckend, wie ein hoher Berg,
der zu besteigen wäre.
Warum versuchst du nicht einmal zuerst einen kleinen
Schritt, indem du mal anstatt 99 einen kleinen, handlichen
Exponenten nimmst. Mein Vorschlag: Exponent 2 .
Das Ergebnis dieser einfachen Rechnung macht die
anscheinend schwierige Bergtour zu einem Spaziergang,
den man vor dem Frühstück unter die Füße nehmen kann ...
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:08 Do 02.08.2012 | | Autor: | fred97 |
> [mm]A^{99}[/mm] erscheint etwas abschreckend, wie ein hoher Berg,
> der zu besteigen wäre.
>
> Warum versuchst du nicht einmal zuerst einen kleinen
> Schritt, indem du mal anstatt 99 einen kleinen,
> handlichen
> Exponenten nimmst. Mein Vorschlag: Exponent 2 .
Hallo Al,
Donnerwetter, da hatten wir die gleiche sensationelle Idee
https://matheraum.de/read?i=905739
Gruß FRED
>
> Das Ergebnis dieser einfachen Rechnung macht die
> anscheinend schwierige Bergtour zu einem Spaziergang,
> den man vor dem Frühstück unter die Füße nehmen kann
> ...
>
> LG Al-Chw.
>
|
|
|
| |
|
> Donnerwetter, da hatten wir die gleiche sensationelle Idee
... aber im Gegensatz zu dir und zum Fragesteller wäre mir
gar nicht eingefallen, das charakteristische Polynom und
Cayley-Hamilton zu bemühen
Hamilton - war jetzt das der Hotelbesitzer oder der dänische Kerl
in einem Drama von Schäkspier ? ...
|
|
|
|
