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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:30 Mo 02.01.2006 | | Autor: | Kuebi |
Hallo ihr!
Hab hier mal ne kleine Frage: Um die Werte für [mm] (-1)^{\bruch{n}{2}} [/mm] auszurechnen, hab ich es umgeschrieben als [mm] ((-1)^{n})^{1/2} [/mm] (also meiner Meinung nach mit Anwendung eines Potenzgesetzes). 
Nun bekommen ich aber als Werte i, 1, i, 1, etc.
Das Rechnersystem mit dem ich die Werte nachgerechnet habe, bekommt als Werte aber i, 1, -i, -1, etc.
Offensichtlich hat sich bei mir ja dann ein Fehler eingeschlichen  !
Vielleicht kann mir jemand helfen wo mein Denkfehler steckt!
Lg, Kübi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:54 Mo 02.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kübi!
Wo genau Dein Rechenfehler liegt, kann ich Dir nicht sagen. Aber forme mal etwas anders um:
[mm] $(-1)^{\bruch{n}{2}} [/mm] \ = \ [mm] \left[ \ (-1)^{\bruch{1}{2}} \ \right]^n [/mm] \ =\ [mm] \left[ \ \wurzel{-1} \ \right]^n [/mm] \ =\ [mm] i^n$
[/mm]
Nun betrachte folgende Fälle:
$n \ = \ 4*k$ [mm] $\Rightarrow$ $i^n [/mm] \ = \ [mm] i^{4k} [/mm] \ = \ \ [mm] \left[ \ \left(i^2\right)^2 \ \right]^k [/mm] \ = \ [mm] \left[(-1)^2\right]^k [/mm] \ =\ [mm] (+1)^k [/mm] \ = \ 1 \ = \ +1$
$n \ = \ 4*k+1$ [mm] $\Rightarrow$ $i^n [/mm] \ = \ [mm] i^{4k+1} [/mm] \ = \ [mm] i^{4k}*i^1 [/mm] \ = \ (+1)*i \ = \ +i$
$n \ = \ 4*k+2$ [mm] $\Rightarrow$ $i^n [/mm] \ = \ [mm] i^{4k+2} [/mm] \ = \ [mm] i^{4k}*i^2 [/mm] \ = \ (+1)*(-1) \ = \ -1$
$n \ = \ 4*k+3$ [mm] $\Rightarrow$ $i^n [/mm] \ = \ [mm] i^{4k+3} [/mm] \ = \ [mm] i^{4k}*i^3 [/mm] \ = \ [mm] (+1)*i^2*i [/mm] \ = \ (+1)*(-1)*i \ = \ [mm] \red{-}i$
[/mm]
Gruß
Loddar
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Hallo Kuebi,
Das entscheidende ist, dass die Potenzgesetze nur für Potenzen mit positiver Basis gelten, so ist z.B.
[mm] $-3=(-3)^1=(-3)^\frac{2}{2}=\sqrt{(-3)^2} [/mm] = [mm] \sqrt{9} [/mm] = 3$
sicherlich falsch!
Das selbe gilt bei deinem Beispiel: [mm] $(-1)^\frac{n}{2}$ [/mm] ist kein eindeutiger Ausdruck, denn es ist nicht klar ob
[mm] $\wurzel{(-1)^n}$ [/mm] oder ob [mm] $[\wurzel{-1}]^n$ [/mm] gemeint ist.
Der erste ausdruck ergibt dein ergebniss von i,1,i,1,...
und der zweite ausdruck ergibt i,-1,-i,1,i,...
Ich hoffe ich konnte dir helfen
Gruß Samuel
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