Potenz/Wurzelfunktionen < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:28 So 27.08.2006 | | Autor: | Maik314 |
Hallo an alle!
Ich bin mir grad nicht so ganz im Klaren mit einer Sache, die ich vor Kurzem in einem Buch gelesen habe.
Und zwar, dass Wurzelfunktionen und Relationen nur für nichtnegative Radikanten definiert sind und man demzufolge jede Inverse einer Potenzfunktion als abschnittweise definierte Funktion für ungerade Exponenten und als Umkehrrelation für gerade darstellen muss...
Dass man bei Potenzfunktionen mit geraden Exponenten nur auf diese Weise die Umkehrrelation bilden kann, ist ja klar und das ist nicht das problem, aber die aussage sagt eindeutig aus, dass das auch für ungerade exponenten gilt oO. Da steht, dass ALLE Wurzelfunktionen nur für nichtnegative Radikanten definiert sind und das nach DIN geregelt ist.
Ist das wirklich so?, denn ich hab das noch nie gehört und mein grafikrechner rechnet sehr wohl auch mit negativen radikanten, sodass umkehrfunktionen von potenzfunktionen mit unger. exponenten durchaus existieren müssten oO
Kann mir da jmd weiterhelfen?
Thx schonmal
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Hi, maik,
> Hallo an alle!
> Ich bin mir grad nicht so ganz im Klaren mit einer Sache,
> die ich vor Kurzem in einem Buch gelesen habe.
>
> Und zwar, dass Wurzelfunktionen und Relationen nur für
> nichtnegative Radikanten definiert sind und man demzufolge
> jede Inverse einer Potenzfunktion als abschnittweise
> definierte Funktion für ungerade Exponenten und als
> Umkehrrelation für gerade darstellen muss...
>
> Dass man bei Potenzfunktionen mit geraden Exponenten nur
> auf diese Weise die Umkehrrelation bilden kann, ist ja klar
> und das ist nicht das problem, aber die aussage sagt
> eindeutig aus, dass das auch für ungerade exponenten gilt
> oO. Da steht, dass ALLE Wurzelfunktionen nur für
> nichtnegative Radikanten definiert sind und das nach DIN
> geregelt ist.
> Ist das wirklich so?, denn ich hab das noch nie gehört und
> mein grafikrechner rechnet sehr wohl auch mit negativen
> radikanten, sodass umkehrfunktionen von potenzfunktionen
> mit unger. exponenten durchaus existieren müssten oO
Gratuliere! Du hast die richtige Einstellung: Nicht alles glauben, bloß weil's in irgendeinem Buch steht!
Aber dieses Mal hat Dein Buch zumindest insofern Recht, als man im Bereich der Schule diese Einschränkung macht, um größere Probleme zu vermeiden.
Wenn Du genauer wissen möchtest, warum man dies macht, dann lies z.B. mal hier nach:
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Potenz_%28Mathematik%29
speziell im Abschnitt "Rationale Exponenten".
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:30 So 27.08.2006 | | Autor: | Maik314 |
Also heißt das im Klartext, dass negative Radikanten für Wurzeln mit ungeradem wurzelexponenten zugelassen werden können unter berücksichtigung der potenzregel [mm] (a^r)^s=a^{rs}, [/mm] die dann nur noch beschränkt gültig ist? wenn ja,
wie sieht es dann bei der tatsächlichen Definition von Inversen für Potenzfunktionen aus? Ist es wirklich so geregelt, dass es zu einer Potenzfunktion mit ungeradem exponenten nur eine abschnittweise definierte umkehrfunktion gibt, weil man hier die wurzeln nur von nichtnegativen redikanten zulässt? denn mag dem so sein, dass man in der schule das so behandelt aber das buch, in dem das so geregelt wird ist nicht wirklich ein "schulbuch". Deswegen wundert mich dort die klare einschränkung, wenn man doch problemlos die umkehrfunktion von einer potenzfunktion ungeradem exponenten bilden kann.
So wie das geschrieben steht, hieße das, dass wurzelfunktionen generell nur für nichtnegative radikanten definiert sind.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:56 Mo 28.08.2006 | | Autor: | Palin |
Das Problem ist das Wurzel aus negativen Zahlen nicht eindeutig deffiniert sind und es zu widerspruchen mit den Rechchenregeln für kommen kann.
z.B.
-2 = [mm] \wurzel[3]{-8} [/mm] = (-8)^(1/3) = (-8)^(2/6) = [mm] \wurzel[6]{(-8)^2} [/mm] = [mm] \wurzel[6]{64} [/mm] = +2
Da aber -2 [mm] \not= [/mm] +2 ist haben wir einen widerspruch.
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Hi, Maik,
> Also heißt das im Klartext, dass negative Radikanten für
> Wurzeln mit ungeradem wurzelexponenten zugelassen werden
> können unter berücksichtigung der potenzregel
> [mm](a^r)^s=a^{rs},[/mm] die dann nur noch beschränkt gültig ist?
Du hast es erkannt!
Es gibt also 2 Möglichkeiten, das Problem zu umgehen:
(1) Man lässt für ALLE Wurzeln nur nicht-negative Radikanden zu.
(Diesen Weg wählt die Schul-Mathematik.)
(2) Man lässt negative Radikanden bei ungeraden Wurzelexponenten zu und schränkt die Potenzgesetze entsprechend ein.
(Dieser Weg wird oft - aber beileibe nicht immer! - an den Hochschulen gewählt.)
> wie sieht es dann bei der tatsächlichen Definition von
> Inversen für Potenzfunktionen aus? Ist es wirklich so
> geregelt, dass es zu einer Potenzfunktion mit ungeradem
> exponenten nur eine abschnittweise definierte
> umkehrfunktion gibt, weil man hier die wurzeln nur von
> nichtnegativen redikanten zulässt? denn mag dem so sein,
> dass man in der schule das so behandelt aber das buch, in
> dem das so geregelt wird ist nicht wirklich ein
> "schulbuch". Deswegen wundert mich dort die klare
> einschränkung, wenn man doch problemlos die umkehrfunktion
> von einer potenzfunktion ungeradem exponenten bilden kann.
> So wie das geschrieben steht, hieße das, dass
> wurzelfunktionen generell nur für nichtnegative radikanten
> definiert sind.
Wie gesagt: Reine Definitionssache!
Natürlich gibt es auch die Definition:
f(x) = [mm] x^{3}
[/mm]
Umkehrfunktion: [mm] f^{-1}(x) [/mm] = [mm] \wurzel[3]{x} [/mm] mit x [mm] \in \IR.
[/mm]
Aber nochmal ganz deutlich:
In der Schulmathematik wird dieser Weg NICHT beschritten!
mfG!
Zwerglein
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