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| Aufgabe | überprüfen Sie, ob folgende Vektorfelder Gradientenfelder sind und berechnen Sie ggf. eine
Stammfunktion.
a) [mm] v=(2xycos(x^2y),x^2cos(x^2y))^T
[/mm]
b) [mm] v=(yzcos(xy),xzcos(xy),sin(xy))^T [/mm] |
a) Soweit ich weiß ist v ein Gradientenfeld, wenn die Jacobi-Matrix symmetrisch ist
[mm] \bruch{\partial v_1}{\partial y}=2xcos(x^2y)+2xy*(-sin(x^2y))x^2
[/mm]
[mm] \bruch{\partial v_2}{\partial x}=2xcos(x^2y)+2xy*(-sin(x^2y))x^2
[/mm]
Jacobi-Matrix ist symmetrisch und damit ist v ein Gradientenfeld.
Wie bestimme ich nun die Stammfunktion? bitte ausführlich erklären
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:36 Di 28.10.2014 | | Autor: | fred97 |
> überprüfen Sie, ob folgende Vektorfelder Gradientenfelder
> sind und berechnen Sie ggf. eine
> Stammfunktion.
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> a) [mm]v=(2xycos(x^2y),x^2cos(x^2y))^T[/mm]
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> b) [mm]v=(yzcos(xy),xzcos(xy),sin(xy))^T[/mm]
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> a) Soweit ich weiß ist v ein Gradientenfeld, wenn die
> Jacobi-Matrix symmetrisch ist
>
> [mm]\bruch{\partial v_1}{\partial y}=2xcos(x^2y)+2xy*(-sin(x^2y))x^2[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial v_2}{\partial x}=2xcos(x^2y)+2xy*(-sin(x^2y))x^2[/mm]
>
> Jacobi-Matrix ist symmetrisch und damit ist v ein
> Gradientenfeld.
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> Wie bestimme ich nun die Stammfunktion? bitte ausführlich
> erklären
Für eine Stammfunktion V(x,y) von v gilt
(1) [mm] V_x=2xycos(x^2y) [/mm] und (2) [mm] V_y=x^2cos(x^2y)
[/mm]
Aus (1) folgt: $V(x,y)=sin(x^2y)+c(y)$ mit einer stetig differenzierbaren Funktion c,
Differenziere dieses V nach y, vergleiche mit (2) und bestimme so die Funktion c.
FRED
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