Potential eines Vektorfeldes < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | [mm] v:\IR^3\to \IR^3, (x,y,z)\to (ye^{xy}+z,xe^{xy},x+2z)
[/mm]
Ergebnis: [mm] \phi(x,y,z)=e^{xy}+xz+z^2+C [/mm] ist Potential |
vermutlich kommt das in der Klausur nicht mehr dran, das Thema wurde nur kurz angeschnitten, nichts weiter zu erwähnt.
Könnt ihr mir vielleicht trotzdem erklären wie man das Potential (Stammfunktion) dieses vektorfeldes bestimmt?
ich weiß, dass nur ein Potential existieren kann, wenn [mm] \delta_if_j=\delta_jf_i [/mm] erfüllt ist (Integrabilitätsbedingung)
Dann muss ich den Hauptsatz mehrfach anwenden, aber da scheitere ich.
MfG
mathegirl
|
|
| |
|
Hallo,
ein Skalarpotential existiert, wenn $ [mm] \nabla\times\mathbf{v}=\mathbf{0} [/mm] $ (Warum?). Ist das gegeben ? Falls ja, dann kannst du ein Skalarpotential $ [mm] \phi(x,y,z) [/mm] $ finden, so dass
[mm] \mathbf{v}=\vektor{ye^{xy}+z \\ xe^{xy} \\ x+2z}=\nabla\phi(x,y,z)=\vektor{\frac{\partial\phi}{\partial x} \\ \frac{\partial\phi}{\partial y} \\ \frac{\partial\phi}{\partial z}}.
[/mm]
Daraus erhältst du 3 Gleichungen, die du dann "einfach" integierst. Bedenke dabei, dass
[mm] \int f(\mathbf{x})\mathrm{d}x=F(\mathbf{x})+g(y,z)
[/mm]
ist.
LG
|
|
|
| |
|
[mm] F(x,y,z)=e^{xy}+zx+g(y,z)
[/mm]
[mm] =e^{xy}+h(x,z)
[/mm]
[mm] =z^2+k(x,y)
[/mm]
[mm] F(x,y,z)=e^{xy}+zx+z^2+C
[/mm]
Ich habe nur wieder unnötig kompliziert gedacht!
Danke für den Tipp!
MfG
mathegirl
|
|
|
|
