Potential einer Kugel < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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Hallo,
ich wollte das Potential einer homogen geladenen Kugel durch explizite Berechnung des Integrals berechnen.
Ich hänge jetzt hier fest
[mm] \phi(\vec{r})=\rho_{0}\integral_{|r'|\le R}^{}{\bruch{1}{|\vec{r}-\vec{r'}|}}d^3\vec{r'}=...=\bruch{2\pi \rho_{0}}{r}\integral{}^{}{r'(\wurzel{r^2+r'^2+2rr'}-\wurzel{r^2+r'^2-2rr'})dr'}=\bruch{2\pi \rho_{0}}{r}\integral{}^{}{r'(r+r'-|r-r'|)dr'}
[/mm]
Nun muss ich ja unterscheiden, ob r<R oder [mm] r\ge [/mm] R
Hier komme ich jetzt nicht weiter. Vielleicht hat jemand einen Tip?
Gruß
LordPippin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:06 So 18.09.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo,
> ich wollte das Potential einer homogen geladenen Kugel
> durch explizite Berechnung des Integrals berechnen.
> Ich hänge jetzt hier fest
> [mm]\phi(\vec{r})=\rho_{0}\integral_{|r'|\le R}^{}{\bruch{1}{|\vec{r}-\vec{r'}|}}d^3\vec{r'}=...=\bruch{2\pi \rho_{0}}{r}\integral{}^{}{r'(\wurzel{r^2+r'^2+2rr'}-\wurzel{r^2+r'^2-2rr'})dr'}=\bruch{2\pi \rho_{0}}{r}\integral{}^{}{r'(r+r'-|r-r'|)dr'}[/mm]
>
> Nun muss ich ja unterscheiden, ob r<R oder [mm]r\ge R[/mm]
>
> Hier komme ich jetzt nicht weiter. Vielleicht hat jemand
> einen Tip?
Erstmal solltest du die Integrationsgrenzen an dein Integral schreiben, es ist
[mm] \bruch{2\pi \rho_{0}}{r}\integral_{0}^{R}{r'(r+r'-|r-r'|)dr'}[/mm] .
Damit siehst du sofort, dass [mm] $r'\le [/mm] R$ ist und damit im Fall [mm] $r\ge [/mm] R$ folgt, dass $|r-r'| = r-r'$ ist. Das Interal hängt also nicht von r ab; zusammen mit dem Vorfaktor ergibt sich das gewünschte $1/r$-Potential.
Im Fall $r<R$ zerlegst du dein Integral in die zwei Anteile [mm] $0\le r'\le [/mm] r$ und $r <r'<R$.
Viele Grüße
Rainer
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Hallo,
vielen Dank für deine Antwort. Habe jetzt folgende Potentiale, die mir richtig erscheinen.
[mm] \phi(\vec{r})=\begin{cases} \bruch{q}{r}, & \mbox{für } r\ge \mbox{ R} \\ \bruch{q}{2}(\bruch{3}{R}-\bruch{r^2}{R^3}), & \mbox{für } r< \mbox{ R} \end{cases} [/mm] wobei [mm] q=\bruch{4}{3}\rho_{0}R^3
[/mm]
Meine letzte Frage ist bezüglich der Fallunterscheidung. Kann man statt [mm] r{\ge}R [/mm] und r<R auch r>R und [mm] r{\le}R [/mm] betrachten? In diesem Fall dürfte es doch egal sein, oder?
Gruß
LordPippin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:46 Mo 19.09.2011 | | Autor: | chrisno |
Da nicht noch eine Extra-Ladung auf der Oberfläche sitzt, sollten beide Potentiale für r = R den gleichen Wert annehmen. Setze einfach r = R, so dass zum Beispiel nur noch r in den Formeln vorkommt. Das kannst Du auch als Probe ansehen.
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