Potential einer Kraft < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:34 Fr 17.04.2015 | | Autor: | Skyrula |
| Aufgabe | | Berechne falls möglich das Potential der Vektorfunktion [mm] \vec{B_2}(\vec{a})=\vektor{y+z \\ x+z \\ x+y} [/mm] |
Hallo zusammen,
um das Potential der Aufgabe bestimmen zu können, muss zunächst Überprüft werden ob wir es mit einer Konservativen Kraft zu tun haben:
[mm] rot\vec{B_2}=\nabla x\vec{B_2}=\vektor{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Damit ist bestätigt, das die Kraft konservativ ist und es ein Potential geben muss.
Jetzt zu meiner Frage:
Wie gehe ich nun weiter vor? Über Tipps, Tricks und Beispiele würde ich mich sehr freuen.
Vielen Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:59 Fr 17.04.2015 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Berechne falls möglich das Potential der Vektorfunktion
> [mm]\vec{B_2}(\vec{a})=\vektor{y+z \\ x+z \\ x+y}[/mm]
> Hallo
> zusammen,
>
> um das Potential der Aufgabe bestimmen zu können, muss
> zunächst Überprüft werden ob wir es mit einer
> Konservativen Kraft zu tun haben:
genau.
>
> [mm]rot\vec{B_2}=\nabla x\vec{B_2}=\vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
> Damit ist bestätigt, das die Kraft konservativ ist und es
> ein Potential geben muss.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Jetzt zu meiner Frage:
>
> Wie gehe ich nun weiter vor? Über Tipps, Tricks und
> Beispiele würde ich mich sehr freuen.
Berechne für jede Komponente eine Stammfunktion:
[mm] $\int\vec{B}_{2,x_i}\,\mthrm{d}x_i$
[/mm]
Für jede der drei Komponenten [mm] $x_i$ [/mm] erhältst Du eine unbestimmte additive Integrationskonstante [mm] $c(x_j,x_k)$, [/mm] die von den jeweils anderen Integrationskonstanten [mm] $x_j$, $x_k$ [/mm] abhängen kann. Am Ende vergleichst du die Integrationskonstante und bestimmst sie so, dass für das Potential [mm] $\phi(x,y,z)$ [/mm] gilt: [mm] $\nabla\phi(x,y,z)=\vec{B}_2$ [/mm] gilt.
>
> Vielen Dank
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:36 Fr 17.04.2015 | | Autor: | Skyrula |
Also ich hoffe ich interpretiere die Hilfestellung richtig. Ich nehme mir also meinen Vektor $ [mm] \vec{B_2}(\vec{a})=\vektor{y+z \\ x+z \\ x+y} [/mm] $ und integriere nach jeder Komponente:
[mm] \phi(x)=\integral{(y+z)}dx=[yx+zx+C_1]
[/mm]
[mm] \phi(y)=\integral{(x+z)}dy=[xy+zy+C_2]
[/mm]
[mm] \phi(z)=\integral{(x+y)}dz=[xz+yz+C_3]
[/mm]
Ist das richtig bis zu diesem Punkt?
Und jetzt soll ich die Konstanten [mm] C_1,C_2,C_3 [/mm] so bestimmen, dass $ [mm] \nabla\phi(x,y,z)=\vec{B}_2 [/mm] $ ergibt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:46 Fr 17.04.2015 | | Autor: | notinX |
> Also ich hoffe ich interpretiere die Hilfestellung richtig.
> Ich nehme mir also meinen Vektor
> [mm]\vec{B_2}(\vec{a})=\vektor{y+z \\ x+z \\ x+y}[/mm] und
> integriere nach jeder Komponente:
Ja.
>
> [mm]\phi(x)=\integral{(y+z)}dx=[yx+zx+C_1][/mm]
> [mm]\phi(y)=\integral{(x+z)}dy=[xy+zy+C_2][/mm]
> [mm]\phi(z)=\integral{(x+y)}dz=[xz+yz+C_3][/mm]
>
> Ist das richtig bis zu diesem Punkt?
Die Stammfunktionen stimmen, die eckigen Klammern kannst Du Dir aber sparen und [mm] $\phi(x,y,z)$ [/mm] hängt allgemein (und hier im Speziellen auch) von allen drei Koordinaten ab. Auch die Konstanten können jeweils von den zwei Variablen abhängen, die nicht der Integrationsvariable entsprechen.
> Und jetzt soll ich die Konstanten [mm]C_1,C_2,C_3[/mm] so bestimmen,
> dass [mm]\nabla\phi(x,y,z)=\vec{B}_2[/mm] ergibt?
>
>
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:56 Fr 17.04.2015 | | Autor: | Skyrula |
Okay, läuft soweit ja ganz gut. Weiter gehts:
Wenn [mm] \nabla\phi(x,y,z)=\vec{B_2}(\vec{a}) [/mm] sein muss, sehe ich die Möglichkeit [mm] C_1=C_2=C_3=0 [/mm] zu bestimmen (falls möglich), denn damit ist diese Bedingung erfüllt:
[mm] \vektor{\frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y}\\\frac{\partial}{\partial z}}\vektor{yx+zx+C_1 \\ yx+zy+C_2\\xz+zy+C_3}=\vektor{y+z \\ x+z\\x+y}=\vec{B_2}(\vec{a}) [/mm] mit [mm] C_1=C_2=C_3=0
[/mm]
Ist das so korrekt? Wenn ja, was genau davon ist eigentlich die Lösung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:11 Fr 17.04.2015 | | Autor: | notinX |
> Okay, läuft soweit ja ganz gut. Weiter gehts:
>
> Wenn [mm]\nabla\phi(x,y,z)=\vec{B_2}(\vec{a})[/mm] sein muss, sehe
> ich die Möglichkeit [mm]C_1=C_2=C_3=0[/mm] zu bestimmen (falls
> möglich), denn damit ist diese Bedingung erfüllt:
>
> [mm]\vektor{\frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y}\\\frac{\partial}{\partial z}}\vektor{yx+zx+C_1 \\ yx+zy+C_2\\xz+zy+C_3}=\vektor{y+z \\ x+z\\x+y}=\vec{B_2}(\vec{a})[/mm]
> mit [mm]C_1=C_2=C_3=0[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
>
> Ist das so korrekt? Wenn ja, was genau davon ist eigentlich
> die Lösung?
Nein. Was Du da berechnet hast ist keine Gradient einer skalaren Funktion, sondern die Komponentenweise Ableitung einer Vektorfunktion. Gesucht ist aber eine skalare Funktion [mm] $\phi(x,y,z)$, [/mm] für die gilt: [mm] $\nabla\phi(x,y,z)=\begin{pmatrix}\frac{\partial}{\partial x}\\
\frac{\partial}{\partial y}\\
\frac{\partial}{\partial z}
\end{pmatrix}\phi(x,y,z)=\vec{B}_{2}$.
[/mm]
Du brauchst also eine Funktion [mm] $\phi(x,y,z)$. [/mm] Schau Dir dazu die drei Stammfunktionen mit ihren drei Integrations-'Konstanten' an. Bestimme die drei (unterschiedlichen) 'Konstanten' (die jeweils von zwei Variablen abhängen) so, dass alle drei der aus den Integrationen gewonnen Stammfunktionen [mm] $\phi(x,y,z)$ [/mm] übereinstimmen.
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:38 Fr 17.04.2015 | | Autor: | Skyrula |
Ich stehe mega auf dem Schlauch. Also aus meinen 3 Integrationen habe ich 3 Stammfunktionen erhalten mit drei verschiedenen Integrationskonstanten, welche ich durch Gleichsetzen bestimmen kann um die Zielbedingung zu erfüllen:
I [mm] :yx+zx+c_1=0
[/mm]
II [mm] :yx+zy+c_2=0
[/mm]
[mm] III:xz+zy+c_3=0
[/mm]
damit lassen sich [mm] c_1,c_2 [/mm] und [mm] c_3 [/mm] bestimmen und damit [mm] \phi(x,y,z)
[/mm]
stimmt das soweit? ich hoffe nicht, denn wie gesagt ich stehe ziemlich auf dem Schlauch was die Lösung dieses Gleichungssystems angeht
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:21 Fr 17.04.2015 | | Autor: | notinX |
Aus der Integration der ersten Komponente des Vektorfeldes erhältst Du:
[mm] $\phi(x,y,z)=\int y+z\,\mathrm{d}x=xy+xz+c_1(y,z)$
[/mm]
Aus der zweiten Komponente:
[mm] $\phi(x,y,z)=\int x+z\,\mathrm{d}y=xy+zy+c_2(x,z)$
[/mm]
Wenn Du jetzt nach 'intensivem Draufschauen' [mm] $c_1(y,z)=zy$ [/mm] und [mm] $c_2(x,z)=xz$ [/mm] wählst, sind die Konstanten so bestimmt, dass das resultierende Potential [mm] $\phi(x,y,z)$ [/mm] für beide Integrationen identisch ist.
Wie muss dann die dritte Konstante aussehen?
Gruß,
notinX
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:46 Sa 18.04.2015 | | Autor: | Skyrula |
Oh man, das war sehr offensichtlich! Habs jetzt geschafft und die Proberechnung geht auch glatt auf.
Danke!
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