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| Aufgabe | Hallo leute ich habe wieder mal probleme bei einer Aufgabe.
Überprüfen Sie, ob das Vektorfeld ein Potential besitzt. Bestimmen Sie im Falle der Existenz ein Potential
[mm] R^3 [/mm] pfeil [mm] R^3
[/mm]
F( x, y , z )=
( x+z
-y+cos y
[mm] x+3z^2
[/mm]
Weiss jemand wie ich bei dieser Aufgabe vorgehen muss? |
Ich habe die frage in keinem forum gestellt.
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Hallo Elektro21,
> Hallo leute ich habe wieder mal probleme bei einer
> Aufgabe.
>
> Überprüfen Sie, ob das Vektorfeld ein Potential besitzt.
> Bestimmen Sie im Falle der Existenz ein Potential
>
> [mm]R^3[/mm] pfeil [mm]R^3[/mm]
>
> F( x, y , z )=
>
> ( x+z
>
> -y+cos y
>
> [mm]x+3z^2[/mm]
>
[mm]F\left(x,y,z\right)=\pmat{x+z \\ -y+\cos\left(y\right) \\ x+3*z^{2}}[/mm]
>
>
> Weiss jemand wie ich bei dieser Aufgabe vorgehen muss?
Berechne zunächst die ![[]](/images/popup.gif) Rotation dieses Vektorfeldes.
Verschwindet die Rotation dieses Vektorfeldes,
so besitzt dieses Vektorfeld ein Potential.
> Ich habe die frage in keinem forum gestellt.
Gruss
MathePower
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Wie unktioniert das genau mit der Rotation ? Soll ich jetzt partiell nach y ableiten?
Ich hab das nämlich nicht so genau verstanden.
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Hallo Elektro21,
> Wie unktioniert das genau mit der Rotation ? Soll ich jetzt
> partiell nach y ableiten?
Schreibe das Vektorfeld F in dieser Form:
[mm]F=\pmat{F_{x} \\ F_{y} \\ F_{z}\[/mm]
Alles weitere ist in dem Link beschrieben.
> Ich hab das nämlich nicht so genau verstanden.
Gruss
MathePower
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Den Vektor den ich rausbekommen hab ist der:
[mm] \begin{pmatrix} 1 \\ -1 -sin y \\ 6z \end{pmatrix}
[/mm]
Aber ich hab jetzt nicht so richtig verstanden auch nach deinem link nicht verstanden was ich als nächstes machen soll.
Soll ich jetzt irgendwie ein Kreuzprodukt bilden aber mit welche anderen Vektor?
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Hallo Elektro21,
> Den Vektor den ich rausbekommen hab ist der:
>
> [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ -1 -sin y \\ 6z \end{pmatrix}[/mm]
>
Dieser Vektor stimmt nicht.
Es ist doch
[mm]\pmat{\bruch{\partial }{\partial x} \\ \bruch{\partial }{\partial y} \\ \bruch{\partial }{\partial z}} \times \pmat{F_{x} \\ F_{y} \\ F_{z}}=\pmat{\bruch{\partial F_{z}}{\partial y}-\bruch{\partial F_{y}}{\partial z} \\ \bruch{\partial F_{x}}{\partial z}-\bruch{\partial F_{z}}{\partial x} \\ \bruch{\partial F_{y}}{\partial x}-\bruch{\partial F_{x}}{\partial y}}[/mm]
Berechnet hast Du
[mm]\pmat{\bruch{\partial F_{x}}{\partial x} \\ \bruch{\partial F_{y}}{\partial y} \\ \bruch{\partial F_{z}}{\partial z}} [/mm]
>
> Aber ich hab jetzt nicht so richtig verstanden auch nach
> deinem link nicht verstanden was ich als nächstes machen
> soll.
>
> Soll ich jetzt irgendwie ein Kreuzprodukt bilden aber mit
> welche anderen Vektor?
Gruss
MathePower
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Ok dann bekomme ich den vektor
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0
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raus . Stimmt das ?
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Hallo Elektro21,
-> Ok dann bekomme ich den vektor
>
> 0
> 0
> 0
>
> raus . Stimmt das ?
Ja, das stimmt.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:28 So 01.07.2012 | | Autor: | Richie1401 |
> Hallo Elektro21,
>
> > Hallo leute ich habe wieder mal probleme bei einer
> > Aufgabe.
> >
> > Überprüfen Sie, ob das Vektorfeld ein Potential besitzt.
> > Bestimmen Sie im Falle der Existenz ein Potential
> >
> > [mm]R^3[/mm] pfeil [mm]R^3[/mm]
> >
> > F( x, y , z )=
> >
> > ( x+z
> >
> > -y+cos y
> >
> > [mm]x+3z^2[/mm]
> >
>
>
> [mm]F\left(x,y,z\right)=\pmat{x+z \\ -y+\cos\left(y\right) \\ x+3*z^{2}}[/mm]
>
>
> >
> >
> > Weiss jemand wie ich bei dieser Aufgabe vorgehen muss?
>
>
> Berechne zunächst die
> Rotation
> dieses Vektorfeldes.
>
> Verschwindet die Rotation dieses Vektorfeldes,
> so besitzt dieses Vektorfeld ein Potential.
Bei diesem ja, aber allgemeiner muss noch gelten, dass das Gebiet nullhomotop ist.
Nur als Ergänzung für zukünftige Leser.
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>
> > Ich habe die frage in keinem forum gestellt.
>
>
> Gruss
> MathePower
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Hallo leute danke dass ihr euch so viel mühe gibt mir zu helfen .
Könnt ihr mir bitte sagen wie ich weiter vorgehen muss.
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Hallo Elektro21,
> Hallo leute danke dass ihr euch so viel mühe gibt mir zu
> helfen .
>
> Könnt ihr mir bitte sagen wie ich weiter vorgehen muss.
Integriere nun die erste Funktion [mm]F_{x}[/mm] nach x
Dies ergibt:
[mm]p\left(x,y,z\right)=\integral_{}^{}{F_{x}\dx} +\varphi\left(y,z\right)[/mm]
Differenziere nach y, dann muss
[mm]\bruch{\partial}{\partial y}\left( \ \integral_{}^{}{F_{x} \ dx} +\varphi\left(y,z\right) \ \right)=F_{y}[/mm]
erfüllt sein.
Bestimme daraus [mm]\varphi\left(y,z\right)[/mm]
Damit kannst Du Dir das [mm]p\left(x,y,z\right)[/mm] zusammenbasteln.
Dann differenzierst Du [mm]p\left(x,y,z\right)[/mm] nach z und vergleichst dies mit [mm]F_{z}[/mm].
Damit kannst Du nun die Komponente bestimmen, die nur von z abhängig ist.
Gruss
MathePower
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Hier mein Ansatz:
Ux = x+z
U (x, y , z) = 1/2 [mm] x^2 [/mm] +zx +phi(y,z)
nach y abgeleitet ergibt 0.
Was muss ich jetzt genau als nächstes machen das ist mir ein wenig unklar.
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Hallo Elektro21,
> Hier mein Ansatz:
>
> Ux = x+z
>
> U (x, y , z) = 1/2 [mm]x^2[/mm] +zx +phi(y,z)
>
> nach y abgeleitet ergibt 0.
>
Nein, [mm]\varphi[/mm] ist doch von y abhängig.
> Was muss ich jetzt genau als nächstes machen das ist mir
> ein wenig unklar.
Es muss doch hier stehen:
[mm]\bruch{\partial \varphi}{\partial y}=F_{y}[/mm]
Das integrierst Du nun nach y.
Dann ist:
[mm]\varphi\left(y,z\right)=\integral_{}^{}{F_{y} \ dy}+\chi\left(z\right)[/mm]
Gruss
MathePower
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Meinst du es so?
U (x, y , z) = 1/2 +zx +phi(y,z)
>
> nach y abgeleitet ergibt es dann phiy (y,z)
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Hallo Elektro21,
> Meinst du es so?
>
> U (x, y , z) = 1/2 +zx +phi(y,z)
> >
> > nach y abgeleitet ergibt es dann phiy (y,z)
Ja.
Gruss
MathePower
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Tut mir leid das ich dich nochmal stören muss aber ich weiss nicht so ganz was ich als nächstes machen muss.
Danke für deine geduld
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Hallo Elektro21,
> Tut mir leid das ich dich nochmal stören muss aber ich
> weiss nicht so ganz was ich als nächstes machen muss.
>
Vergleiche jetzt:
[mm]\varphi_{y}=F_{y}[/mm]
> Danke für deine geduld
Gruss
MathePower
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Ok Phi y mit -y+cos y vergleichen . Was soll mir da auffallen ?
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Also mal ganz ruhig!
Es wäre sicherlich günstig man schreibt noch einmal alles auf.
[mm] F\left(x,y,z\right)=\pmat{x+z \\ -y+\cos\left(y\right) \\ x+3\cdot{}z^{2}}
[/mm]
Um das Potential zu berechnen nimmt man an, dass [mm] F_x=x+z
[/mm]
[mm] U(x,y,z)=\integral F_x dx=\frac{x^2}{2}+zx+\phi(y,z)
[/mm]
[mm] U_y(x,y,z)=\phi_y(y,z)=-y+\cos\left(y\right)
[/mm]
[mm] \integral (-y+\cos\left(y\right))dy=-\frac{y^2}{2}+sin(y)+\phi(z)=\phi(y,z)
[/mm]
Damit ist [mm] U(x,y,z)=\frac{x^2}{2}+zx-\frac{y^2}{2}+sin(y)+\phi(z)
[/mm]
[mm] U_z(x,y,z)=x+\phi_z(z)=x+3z^2
[/mm]
[mm] \integral 3z^2dz=z^3=\phi(z)
[/mm]
Nun ergibt sich als Endergebnis:
[mm] U(x,y,z)=\frac{x^2}{2}+zx-\frac{y^2}{2}+sin(y)+z^3+C
[/mm]
C ist eine beliebige Konstante. Denn es gilt: U ist eindeutig bis auf eine Konstante bestimmt.
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