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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:36 So 28.10.2012 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | Für jede Matrix A [mm] \in M_{n \times n} [/mm] gilt:
Ist A symmetrisch, d.h. [mm] A^{\*} [/mm] =A, dann ist [mm] e^A [/mm] positiv. |
Hallo ihr lieben.
Habt ihr einen Tipp für mich um das Bsp zu lösen?
Was heißt denn [mm] e^A [/mm] postiv? Meint man damit positiv defenit?
[mm] e^A [/mm] ist positiv defenit wenn [mm] e^A [/mm] symmetrisch ist und [mm] x^t e^A [/mm] x > 0 für alle x ≠ 0.
Liebe Grüße
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Hallo,
> Für jede Matrix A [mm]\in M_{n \times n}[/mm] gilt:
> Ist A symmetrisch, d.h. [mm]A^{\*}[/mm] =A, dann ist [mm]e^A[/mm] positiv.
??
[mm]e^{A}[/mm] ist eine Matrix, was soll eine positive Matrix sein? Alle Einträge positiv?
> Hallo ihr lieben.
> Habt ihr einen Tipp für mich um das Bsp zu lösen?
>
> Was heißt denn [mm]e^A[/mm] postiv? Meint man damit positiv
> defenit?
Diesen Begriff kenne ich nicht, vllt. meinst du ja positiv definit ...?
> [mm]e^A[/mm] ist positiv defenit wenn [mm]e^A[/mm] symmetrisch ist und [mm]x^t e^A[/mm]
> x > 0 für alle x ≠ 0.
>
> Liebe Grüße
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:27 So 28.10.2012 | | Autor: | Lu- |
Ja ich meine positiv definit.
Aber ich weiß nicht was der Aufgabensteller meint ...bzw. wie ich die aufgabe zu lösen habe...
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> Für jede Matrix A [mm]\in M_{n \times n}[/mm] gilt:
> Ist A symmetrisch, d.h. [mm]A^{\*}[/mm] =A, dann ist [mm]e^A[/mm] positiv.
> Hallo ihr lieben.
> Habt ihr einen Tipp für mich um das Bsp zu lösen?
>
> Was heißt denn [mm]e^A[/mm] postiv?
Hallo,
es bedeutet, daß alle Einträge von [mm] e^A [/mm] positiv sind.
Ich denke, daß man hier mit der orthogonalen Diagonalisierbarkeit weiterkommt.
Was hast Du denn bisher überlegt?
Stimmt die Aussage, wenn A eine reelle Diagonalmatrix ist?
LG Angela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:09 Mo 29.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> Für jede Matrix A [mm]\in M_{n \times n}[/mm] gilt:
> Ist A symmetrisch, d.h. [mm]A^{\*}[/mm] =A, dann ist [mm]e^A[/mm] positiv.
> Hallo ihr lieben.
> Habt ihr einen Tipp für mich um das Bsp zu lösen?
>
> Was heißt denn [mm]e^A[/mm] postiv? Meint man damit positiv
> defenit?
> [mm]e^A[/mm] ist positiv defenit wenn [mm]e^A[/mm] symmetrisch ist und [mm]x^t e^A[/mm]
> x > 0 für alle x ≠ 0.
>
> Liebe Grüße
Ich bin mit Angelas Interpretation nicht einverstanden.
In der Theorie linearer Operatoren auf Hilberträumen spricht man oft von "positiv" und meint "positiv semidefinit" oder manchmal auch "positiv definit".
Ist also H ein Hilbertraum mit dem Innenprodukt <,>, so heißt ein symmetrischer linearer Operator T:H [mm] \to [/mm] H positiv, wenn
<Tx,x> [mm] \ge [/mm] 0 für alle x [mm] \in [/mm] H.
Ist nun A symmetrisch, so ist [mm] e^A [/mm] ebenfalls symmetrisch und
$ <e^Ax,x>= [mm] = \ge [/mm] 0.$ für alle x.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:06 Mo 29.10.2012 | | Autor: | Lu- |
Hallo
Ist es nicht sogar positiv defenit anstatt nur positiv semidefenit?
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:07 Di 30.10.2012 | | Autor: | fred97 |
Ja
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:50 Fr 02.11.2012 | | Autor: | Lu- |
Vielen lieben dank!!
LU
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