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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:50 Do 08.01.2015 | | Autor: | Tabs2000 |
| Aufgabe | In einem zoologischen Garten wird ein neues Schmetterlingshaus mit 90 Schmetterlingen angelegt. Während seines durchschnittlich ein halbes Jahr währenden Lebens legt ein Schmetterling etwa 105 Eier. Aus 9% der Eier schlüpfen Raupen, von denen sich nach einem halben Jahr 11% weiter zu Schmetterlingen entwickeln.
A)Berechnen Sie die Populationsentwicklung in den nächsten beiden Zeitperioden und begründen Sie, inwiefern es sich um einen zyklischen Prozess handelt.
B)Ändern Sie ihr Modell so, dass ein halbjährlicher Verkauf von Schmetterlingen an andere zoologischen Gärten berücksichtigt wird.
C)Wie viele Schmetterlinge können pro Halbjahr verkauft werden, ohne den Bestand der Population zu gefährden? |
Also mein Problem bei der Aufgabe ist erstmal, dass ich nicht genau weiß, welche Reihenfolge die "Kategorien" Ei, Raupe, Schmetterling in meiner aufzustellenden Matrix haben müssen. Ich hab jetzt beim Ei angefangen, obwohl zuerst davon berichtet wird, dass DER SCHMETTERLING Eier legt. Dabei komm ich auf folgende Matrix: [mm] \pmat{ 0 & 0 & 105 \\ 0,09 & 0 & 0\\ 0 & 0,11 & 0 }
[/mm]
Der Verteilungsvektor zu Beginn wäre [mm] \vec{v} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 90} [/mm]
Wie man nun auf die Verteilung in den Folgeperioden kommt, verstehe ich: Man multipliziert die Matrix mit der zu betrachteten Ausgangsverteilung, alternativ [mm] M^{k} [/mm] * v0 = vk
Jetzt bereitet mir (falls meine Matrix stimmt) b) Kopfzerbrechen.
Ich hab mir überlegt, dass das vllt so sein kann:
M (siehe oben) wird mit einem Vektor [mm] a=\vektor{x1 \\ x2\\ x3} [/mm] multipliziert. Dabei kommt dann das raus:
a1= [mm] \vektor{105x3 \\ 0,09x1 \\ 0,11x2}
[/mm]
Element [mm] a_{31} [/mm] gibt die Verteilung von Schmetterlingen nach einer Periode an. Davon wird jetzt ein Betrag p abgezogen, da ja Schmetterlinge verkauft werden sollen.
Dann hätte man 0,11x2- p da stehen.
Die modifizierte Ü-Matrix wäre dann wie M oben, nur dass Element [mm] b_{32} [/mm] nicht mehr 0,11,sondern 0,11-p wäre.
C hab ich dann so gerechnet. Momentan handelt es sich nicht ganz um einen zyklischen Prozess, da 105 [mm] \* [/mm] 0,09 [mm] \* [/mm] 0,11 = 1,0395 beträgt
1,0395 > 1 -> Die Population wächst momentan.
Unter Berücksichtigung von p erhielte man sowas:
105 [mm] \* [/mm] 0,09 [mm] \* [/mm] (0,11-p) [mm] \ge [/mm] 1
Nach Auflösung kommt da p [mm] \ge [/mm] 0,00418 raus -> 0,418 %
Folglich müsste man 99,582 % behalten, damit die Population nicht sinkt, also das Produkt der Elemente der Matrix unter 1 fällt. Das kann nicht stimmen, weil der Wert viel zu klein ist...
Ich bin für jede Hilfe sehr dankbar :)
Danke im Voraus !
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:16 Fr 09.01.2015 | | Autor: | chrisno |
> ,,,,
> Also mein Problem bei der Aufgabe ist erstmal, dass ich
> nicht genau weiß, welche Reihenfolge die "Kategorien" Ei,
> Raupe, Schmetterling in meiner aufzustellenden Matrix haben
> müssen. Ich hab jetzt beim Ei angefangen, obwohl zuerst
> davon berichtet wird, dass DER SCHMETTERLING Eier legt.
Das ist in Ordnung. Du kannst frei wählen. Du musst nur aufpassen, dass Du nicht bei der weiteren Rechnung etwas durcheinander bringst.
> Dabei komm ich auf folgende Matrix: [mm]\pmat{ 0 & 0 & 105 \\ 0,09 & 0 & 0\\ 0 & 0,11 & 0 }[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Der Verteilungsvektor zu Beginn wäre [mm]\vec{v}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 90}[/mm]
>
> Wie man nun auf die Verteilung in den Folgeperioden kommt,
> verstehe ich: Man multipliziert die Matrix mit der zu
> betrachteten Ausgangsverteilung, alternativ [mm]M^{k}[/mm] * v0 =
> vk
>
> Jetzt bereitet mir (falls meine Matrix stimmt) b)
> Kopfzerbrechen.
>
> Ich hab mir überlegt, dass das vllt so sein kann:
>
> M (siehe oben) wird mit einem Vektor [mm]a=\vektor{x1 \\ x2\\ x3}[/mm]
> multipliziert. Dabei kommt dann das raus:
>
> a1= [mm]\vektor{105x3 \\ 0,09x1 \\ 0,11x2}[/mm]
>
> Element [mm]a_{31}[/mm] gibt die Verteilung von Schmetterlingen nach
> einer Periode an. Davon wird jetzt ein Betrag p abgezogen,
> da ja Schmetterlinge verkauft werden sollen.
>
> Dann hätte man 0,11x2- p da stehen.
>
> Die modifizierte Ü-Matrix wäre dann wie M oben, nur dass
> Element [mm]b_{32}[/mm] nicht mehr 0,11,sondern 0,11-p wäre.
>
> C hab ich dann so gerechnet. Momentan handelt es sich nicht
> ganz um einen zyklischen Prozess, da 105 [mm]\*[/mm] 0,09 [mm]\*[/mm] 0,11 =
> 1,0395 beträgt
Da siehst Du, dass der Ansatz mit der Übergangsmatrix zu aufwendig ist. Das liegt daran, dass in jeder Zeile und Spalte immer nur ein Eintrag ist.
>
> 1,0395 > 1 -> Die Population wächst momentan.
>
> Unter Berücksichtigung von p erhielte man sowas:
>
> 105 [mm]\*[/mm] 0,09 [mm]\*[/mm] (0,11-p) [mm]\ge[/mm] 1
>
> Nach Auflösung kommt da p [mm]\ge[/mm] 0,00418 raus -> 0,418 %
entweder $p [mm] \le [/mm] $ oder an beiden Stellen = anstelle von [mm] $\ge$
[/mm]
>
> Folglich müsste man 99,582 % behalten, damit die
> Population nicht sinkt, also das Produkt der Elemente der
> Matrix unter 1 fällt. Das kann nicht stimmen, weil der
> Wert viel zu klein ist...
wieso nicht? Das Wachstum ist sehr klein. Ich komme beim Nachrechnen auf den gleichen Wert.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:46 Fr 09.01.2015 | | Autor: | Tabs2000 |
Danke für die Antwort. Dann bin ich beruhigt :)
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