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| Aufgabe | | Es sei $P [mm] \subset [/mm] V$ ein Polytop und [mm] $\varphi [/mm] : V [mm] \rightarrow [/mm] W$ eine affine Abbildung. Beweise oder widerlege: Wenn $F$ eine Seite von $P$ ist, dann ist [mm] $\varphi(F)$ [/mm] eine Seite des Polytops $Q := [mm] \varphi(P [/mm] )$. |
Hallo Zusammen,
also ich habe mich dazu entschieden, dass das keine Seite mehr ist, allerdings nur weil wir eine ähnliche Aufgabe mal hatten und da musste noch einiges mehr gelten. Ich kann mir grad nicht vorstellen, woran die Seiteneigenschaft scheitert. Ich versuche grad das folgende:
Wenn [mm] $\varphie(a)$ [/mm] ein beliebiger Punkt in [mm] $\varphie(F)$ [/mm] ist und im Inneren einer Strecke $[x,y]$ liegt, dann muss auch $x$ und $y$ in [mm] $\varphie(F)$ [/mm] liegen. Wenn man das runterechnet, kommt man an den Punkt
[mm] $\varphi(a)=\lambda \varphi(b)+(1-\lambda)\varphi(c)$ [/mm] wenn man nun auf [mm] $a=\lambda [/mm] b + [mm] (1-\lambda)c$ [/mm] schließen will, benötigt man zumindest die Injektivität.... Aber das beweist ja noch nichts...
Vielleicht hat ja jemand ne Idee, warum affine Abbildungen u.U. Seiten kaputt machen können...
Viele Dank schon mal im Voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:46 Fr 20.01.2012 | | Autor: | Stoecki |
hallo,
ich bin mir ziemlich sicher, dass seitenflächen unter linearen abbildungen seitenflächen bleiben. alles, was passieren kann, ist dass die dimension der seitenfläche kleiner wird. statt es zu widerlegen, versuch es mal zu beweisen. gehe zunächst erstmal wieder von einer rein-linearen abbildung aus. das vereinfacht das rechnen. den affinen stützvektor kann man dann immernoch reinrechnen. wenn du keinen ansatz findest, schreib noch mal.
gruß bernhard
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Hallo,
erstmal vielen Dank für deine Antwort. Ich hab mal versucht es zu beweisen und stoße dabei auf folgende Probleme:
Ich schreibe [mm] $\varphi$ [/mm] als [mm] $\varphi=\tau \circ \psi$ [/mm] wobei [mm] $\tau$ [/mm] eine Translation und [mm] $\psi$ [/mm] linear ist.
Ich benutze die folgende Eigenschaft von Seiten: $F$ ist eine Seite von $P$ genau dann, wenn für jedes $a [mm] \in [/mm] F$ mit [mm] $a=\lambda [/mm] b + [mm] (a-\lambda)c \Rightarrow b,c\in [/mm] F$ gilt, wobei [mm] $\lambda \in [/mm] (0,1)$ und $b [mm] \not= [/mm] c$.
Jetzt hab ich zwei Dinge probiert:
1. Da $F$ eine Seite ist, gilt für jedes $a [mm] \in [/mm] F$ mit [mm] $a=\lambda [/mm] b [mm] +(1-\lambda)c$, [/mm] dass $b,c [mm] \in [/mm] F$. Dann ist [mm] $\psi(a)=\psi(\lambda [/mm] b + [mm] (1-\lambda)c=\lambda \psi(b)+(1-\lambda)\psi(c)$. [/mm] Dann heißt das aber noch lange nicht, dass das für jedes Element aus [mm] $\psi(F)$ [/mm] gilt, also dass jede Element aus [mm] $\psi(F)$ [/mm] ein Urbild in $F$ hat.....
2. Die andere Richtung. Sei [mm] $x\in \psi(F)$ [/mm] mit [mm] $x=\lambda [/mm] y + [mm] (1-\lambda)z$. [/mm] ZZ: $y,z [mm] \in \psi(F)$. [/mm] Da $x,y,z [mm] \in \psi(P):$
[/mm]
[mm] $x=\lambda [/mm] y + [mm] (1-\lambda)z \Leftrightarrow \psi(a)=\lambda \psi(b) [/mm] + [mm] (1-\lambda)\psi= \psi(\lambda [/mm] b + [mm] (1-\lambda) [/mm] c)$
Nun lässt sich aber nicht [mm] $a=\lambda [/mm] b + [mm] (1-\lambda) [/mm] c$ annehmen, weil [mm] $\psi$ [/mm] nicht injektiv ist.
Also da weiß ich echt nicht weiter. Es ist noch zu erwähnen, dass Aufgabe b der gleichen Aufgabe ist: Zeige, dass "das gleiche wie oben" gilt, wenn [mm] $\varphi$ [/mm] bijektiv ist.
Vielen Dank schon mal...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:18 Mo 23.01.2012 | | Autor: | Stoecki |
Ich habe gerade noch einmal über deine Aufgabe nachgedacht. Zunächst einmal ist jedes Polytop per Definition bereits eine Seitenfläche von sich selbst. Es kommt jetzt darauf an, wie das hier in der Aufgabe gemeint ist. Wird als Grundraum stets der Vektorraum V mit dim V= dim P betrachtet und ein Element als nicht-Seitenflächenelement betrachtet, dass im Raum des abgebildeten Polytops eine Epsilon-Umgebung besitzt, welche komplett im inneren (bezogen auf den Polytop-VR) liegt, dann wäre die Aussage falsch. Legt man jedoch immer den Ursprünglichen Raum zugrunde, wäre die Aussage richtig, da der Schnitt zwischen der Umgebung mit dem Grundraum nie leer sein kann, wenn er es vorher nicht schon war.
Die Definition von Seitenfläche, die wir damals genutz haben war, dass es die Menge aller x ist, die in P liegt und bei einem Teilsystem des Polyeder-ungleichungssystems für diese x Gleichheit gilt. Hier würde die Aussage richtig sein. Gehst du über die konvexe Hülle der Ecken, als Definition von Seitenflächen. Dann ist die Aussage falsch. Hier gäbe es zum Beispiel das Gegenbeispiel des Einheitswürfels. mit den Ecken [mm] \vektor{x \\ y \\z}, [/mm] x,y,z [mm] \in [/mm] {-1, 1}. Bilde die y und z-Koodinaten immer auf 0 ab und die x Koordinate auf sich selbst und du erhälst, dass der Punkte [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 1} [/mm] z.B auf die 0 abgebildet wird. Dein abgebildetes Polytop wäre das Interval [-1,1] und damit der Punkt bezogen auf einen eindimensionalen raum im Inneren. Bezogen auf einen 3-dimensionalen Grundraum würde die Ungleichungen y, z [mm] \le [/mm] 0 und y, z [mm] \ge [/mm] 0 gedoch immer mit gleichheit erfüllt und damit wäre die 0 ein Seitenflächenelement.
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