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| Aufgabe | Es sei
[mm] V:=\{f:\IR\mapsto\IR| a_{0},...,a_{4}\in\IR\wedge f(x)=\summe_{i=0}^{4}a_{i}x^{i} \forall x\in\IR\}
[/mm]
und [mm] \delta:V\mapsto [/mm] V sei definiert durch:
[mm] \delta(f)(x)=f''(x)+xf'(x)-f(x+1).
[/mm]
A)
Zeigen Sie das V ein Unterraum von [mm] \IR^{\IR} [/mm] ist und dass [mm] \delta [/mm] linear ist.
B)
Berrechnen Sie die Matrix [mm] M(\delta) [/mm] bezüglich einer Basis B von V.
C)
Bestimmen Sie eine Basis von Kern [mm] \delta.
[/mm]
D)
Sei [mm] g(x)\in [/mm] V mit [mm] g(x)=3x^{4}+2x^{3}-x+1. [/mm] Berechnen Sie [mm] \delta^{-1}(g). [/mm] |
Hallo liebe Community,
die Wesentliche Frage ist in der C, es wäre nett wenn ihr den Rest mal probegucken könntet, eventuell habe ich ja auch Folgefehler =(,
aber erstmal was ich bereits erarbeitet habe:
A)
Zeige das V Unterraum von [mm] \IR^{\IR} [/mm] ist:
1. [mm] 0\in [/mm] V
Sei [mm] a_{0}=a_{1}=a_{2}=a_{3}=a_{4}=0\in\IR [/mm] , dann ist
[mm] f(x)=\summe_{i=0}^{4}a_{i}x^{i}=\summe_{i=0}^{4}0*x^{i}=0\in [/mm] V [mm] \Box
[/mm]
2. Additativ abgeschlossen
Seien [mm] u(x),v(x)\in [/mm] V.
Zeige [mm] u(x)+v(x)\in [/mm] V
[mm] u(x)=\summe_{i=0}^{4}a_{i}x^{i}, v(x)=\summe_{i=0}^{4}a'_{i}x^{i}\in [/mm] V
[mm] u(x)+v(x)=\summe_{i=0}^{4}a_{i}x^{i}+\summe_{i=0}^{4}a'_{i}x^{i}=\summe_{i=0}^{4}(a_{i}+a'{i})x^{i} \in [/mm] V, da [mm] a_{i}+a'{i}\in\IR \Box
[/mm]
3. Multiplikativ abgeschlossen
Seien [mm] u(x)\in [/mm] V, [mm] \lambda\in\IR.
[/mm]
Zeige [mm] \lambda [/mm] u(x) [mm] \in [/mm] V:
[mm] u(x)=\summe_{i=0}^{4}a_{i}x^{i}
[/mm]
[mm] \lambda u(x)=\lambdau\summe_{i=0}^{4}a_{i}x^{i}=\summe_{i=0}^{4}\lambda a_{i}x^{i} \in [/mm] V, da [mm] \lambda [/mm] * [mm] a_{i} \in [/mm] V [mm] \Box
[/mm]
Zeige das [mm] \delta [/mm] linear ist:
Seien [mm] u(x),v(x)\in [/mm] V, [mm] \lambda \in\IR
[/mm]
Zu zeigen ist:
1. [mm] \delta(u+v)(x)=(\delta(u)+\delta(v))(x)
[/mm]
2. [mm] \lambda\delta(u)(x)=\delta(\lambda*u)(x)
[/mm]
1. [mm] \delta(u+v)(x)=(u+v)''(x)+x(u+v)'(x)-(u+v)(x+1)=u''(x)+v''(x)+xu'(x)+xv'(x)-u(x+1)-v(x+1)=(\delta(u)+\delta(v))(x) \Box
[/mm]
2. [mm] \lambda\delta(u)(x)=\lambda(u''(x)+xu'(x)-u(x+1))=u''(\lambda x)+xu'(\lambda x)-u(\lambda (x+1))=\delta(\lambda*u)(x) \Box
[/mm]
B)
Nach Definition ist [mm] M=(s_{1},...,s_{n}) [/mm] | [mm] s_{i}=K_{B}(\delta(v_{i}), 0
Wähle Basis [mm] B={1,x,x^{2},x^{3},x^{4}}
[/mm]
Nach Bestimmung der Spaltenvektoren ergibt sich:
[mm] M=\pmat{ -1 & -1 & 1 & -1 & -1
\\ 0 & 0 & -2 & 3 & -4
\\ 0 & 0 & 1 & -3 & 6
\\ 0 & 0 & 0 & 2 & -4
\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3 }
[/mm]
C)
Durch Gauß transformeire ich die Matrix zu:
[mm] M'=\pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 & 0
\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0
\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0
\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1
\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Zu sehen ist das [mm] x_{2} [/mm] frei wählbar ist und nur [mm] x_{1} [/mm] von [mm] x_{2} [/mm] abhängt.
Da der Defekt der Matrix 1 ist, ist auch die [mm] dim(\IL_{0})=1.
[/mm]
Ermittle Basis:
[mm] x_{2}=t, t\in\IR
[/mm]
[mm] x_{1}+t=0\gdw x_{1}=(-t)
[/mm]
[mm] B_{Ker}=\{\vektor{-1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}\}
[/mm]
D)
So hier weis ich nun nicht weiter da ich ja eine Nullzeile habe.
Der Vektor zu g(x) ist: [mm] g_{v}=\vektor{1 \\ -1 \\ 0 \\ 2 \\ 3}
[/mm]
Ich denke mal das ich irgendwie das Ergebnis aus C benutzen muss, aber irgendwie komm ich nicht auf eine Lösung.
Bis jetzt dachte ich wenn v der gesuchte Vektor ist das ich nur:
[mm] M=\pmat{ -1 & -1 & 1 & -1 & -1
\\ 0 & 0 & -2 & 3 & -4
\\ 0 & 0 & 1 & -3 & 6
\\ 0 & 0 & 0 & 2 & -4
\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3 }*v+t*\vektor{-1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}=\vektor{1 \\ -1 \\ 0 \\ 2 \\ 3}
[/mm]
lösen muss aber ich komm auf kein Ergebnis :(
Weis hier jemand weiter? =)
LG
Michael
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> Es sei
> [mm]V:=\{f:\IR\mapsto\IR| a_{0},...,a_{4}\in\IR\wedge f(x)=\summe_{i=0}^{4}a_{i}x^{i} \forall x\in\IR\}[/mm]
>
> und [mm]\delta:V\mapsto[/mm] V sei definiert durch:
> [mm]\delta(f)(x)=f''(x)+xf'(x)-f(x+1).[/mm]
>
> A)
> Zeigen Sie das V ein Unterraum von [mm]\IR^{\IR}[/mm] ist und dass
> [mm]\delta[/mm] linear ist.
>
> B)
> Berrechnen Sie die Matrix [mm]M(\delta)[/mm] bezüglich einer Basis
> B von V.
>
> C)
> Bestimmen Sie eine Basis von Kern [mm]\delta.[/mm]
>
> D)
> Sei [mm]g(x)\in[/mm] V mit [mm]g(x)=3x^{4}+2x^{3}-x+1.[/mm] Berechnen Sie
> [mm]\delta^{-1}(g).[/mm]
> Hallo liebe Community,
>
> die Wesentliche Frage ist in der C, es wäre nett wenn ihr
> den Rest mal probegucken könntet, eventuell habe ich ja
> auch Folgefehler =(,
> aber erstmal was ich bereits erarbeitet habe:
Hallo,
ich habe nichts genauer nachgerechnet, aber mal so grob drübergeguckt sieht Dein Tun richtig aus.
>
> A)
> Zeige das V Unterraum von [mm]\IR^{\IR}[/mm] ist:
>
> 1. [mm]0\in[/mm] V
> Sei [mm]a_{0}=a_{1}=a_{2}=a_{3}=a_{4}=0\in\IR[/mm] , dann ist
>
> [mm]f(x)=\summe_{i=0}^{4}a_{i}x^{i}=\summe_{i=0}^{4}0*x^{i}=0\in[/mm]
> V [mm]\Box[/mm]
>
> 2. Additativ abgeschlossen
> Seien [mm]u(x),v(x)\in[/mm] V.
> Zeige [mm]u(x)+v(x)\in[/mm] V
>
> [mm]u(x)=\summe_{i=0}^{4}a_{i}x^{i}, v(x)=\summe_{i=0}^{4}a'_{i}x^{i}\in[/mm]
> V
>
> [mm]u(x)+v(x)=\summe_{i=0}^{4}a_{i}x^{i}+\summe_{i=0}^{4}a'_{i}x^{i}=\summe_{i=0}^{4}(a_{i}+a'{i})x^{i} \in[/mm]
> V, da [mm]a_{i}+a'{i}\in\IR \Box[/mm]
>
> 3. Multiplikativ abgeschlossen
> Seien [mm]u(x)\in[/mm] V, [mm]\lambda\in\IR.[/mm]
> Zeige [mm]\lambda[/mm] u(x) [mm]\in[/mm] V:
>
> [mm]u(x)=\summe_{i=0}^{4}a_{i}x^{i}[/mm]
>
> [mm]\lambda u(x)=\lambdau\summe_{i=0}^{4}a_{i}x^{i}=\summe_{i=0}^{4}\lambda a_{i}x^{i} \in[/mm]
> V, da [mm]\lambda[/mm] * [mm]a_{i} \in[/mm] V [mm]\Box[/mm]
>
>
> Zeige das [mm]\delta[/mm] linear ist:
>
> Seien [mm]u(x),v(x)\in[/mm] V, [mm]\lambda \in\IR[/mm]
>
> Zu zeigen ist:
>
> 1. [mm]\delta(u+v)(x)=(\delta(u)+\delta(v))(x)[/mm]
> 2. [mm]\lambda\delta(u)(x)=\delta(\lambda*u)(x)[/mm]
>
> 1.
> [mm]\delta(u+v)(x)=(u+v)''(x)+x(u+v)'(x)-(u+v)(x+1)=u''(x)+v''(x)+xu'(x)+xv'(x)-u(x+1)-v(x+1)=(\delta(u)+\delta(v))(x) \Box[/mm]
>
> 2.
> [mm]\lambda\delta(u)(x)=\lambda(u''(x)+xu'(x)-u(x+1))=u''(\lambda x)+xu'(\lambda x)-u(\lambda (x+1))=\delta(\lambda*u)(x) \Box[/mm]
>
>
> B)
> Nach Definition ist [mm]M=(s_{1},...,s_{n})[/mm] |
> [mm]s_{i}=K_{B}(\delta(v_{i}), 0
>
> Wähle Basis [mm]B={1,x,x^{2},x^{3},x^{4}}[/mm]
>
> Nach Bestimmung der Spaltenvektoren ergibt sich:
>
> [mm]M=\pmat{ -1 & -1 & 1 & -1 & -1 \\
0 & 0 & -2 & 3 & -4 \\
0 & 0 & 1 & -3 & 6 \\
0 & 0 & 0 & 2 & -4 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 3 }[/mm]
>
> C)
> Durch Gauß transformeire ich die Matrix zu:
>
> [mm]M'=\pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> Zu sehen ist das [mm]x_{2}[/mm] frei wählbar ist und nur [mm]x_{1}[/mm] von
> [mm]x_{2}[/mm] abhängt.
>
> Da der Defekt der Matrix 1 ist, ist auch die
> [mm]dim(\IL_{0})=1.[/mm]
>
> Ermittle Basis:
> [mm]x_{2}=t, t\in\IR[/mm]
> [mm]x_{1}+t=0\gdw x_{1}=(-t)[/mm]
>
> [mm]B_{Ker}=\{\vektor{-1 \\
1 \\
0 \\
0 \\
0}\}[/mm]
Du gibst Deine Basis des Kerns als Koordinatenvektor bzgl B an.
Ich würde ihn unbedingt noch als Element von V, also als Polynom, hinschreiben.
>
> D)
> So hier weis ich nun nicht weiter da ich ja eine Nullzeile
> habe.
Ja, das Invertieren klappt hier leider nicht.
Mit [mm] \delta^{-1}(g) [/mm] ist eigentlich gemeint [mm] \delta^{-1}(\{g\}), [/mm] also das Urbild von g.
Ich würde einfach mal ausrechnen, wie die Koeffizienten von [mm] \summe a_ix^i [/mm] sein müssen, damit [mm] \delta(\summe a_ix^i)=g(x) [/mm] richtig ist.
Das kannst Du tun, indem Du
[mm] M*\vektor{a_0\\\vdots\\a_4}=$\vektor{1 \\ -1 \\ 0 \\ 2 \\ 3}$ [/mm] .
Wenn Du über inhomogene LGS Bescheid weißt, dann reicht Dir eine einzige Lösung dieses Systems, und Du weißt, daß man alle anderen durch Addition des Kerns bekommt.
Gruß v. Angela
>
> Der Vektor zu g(x) ist: [mm]g_{v}=\vektor{1 \\
-1 \\
0 \\
2 \\
3}[/mm]
>
> Ich denke mal das ich irgendwie das Ergebnis aus C benutzen
> muss, aber irgendwie komm ich nicht auf eine Lösung.
> Bis jetzt dachte ich wenn v der gesuchte Vektor ist das
> ich nur:
>
> [mm]M=\pmat{ -1 & -1 & 1 & -1 & -1 \\
0 & 0 & -2 & 3 & -4 \\
0 & 0 & 1 & -3 & 6 \\
0 & 0 & 0 & 2 & -4 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 3 }*v+t*\vektor{-1 \\
1 \\
0 \\
0 \\
0}=\vektor{1 \\
-1 \\
0 \\
2 \\
3}[/mm]
>
> lösen muss aber ich komm auf kein Ergebnis :(
>
> Weis hier jemand weiter? =)
>
> LG
> Michael
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