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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:44 Fr 19.11.2004 | | Autor: | Faenol |
Hi !
Hmm, also ich hab hier gerade folgendes Problem:
Es sei [mm] \produkt_{4}:=<1,x,x^{2},x^{3},x^{4}>
[/mm]
a) Man zeige [mm] \produkt_{4}^{+}:={p \in \produkt_{4}|p(-x)=p(x)} [/mm] ist ein UVR von [mm] \produkt_{4}
[/mm]
b) Man bestimme die Basis von [mm] \produkt_{4}^{+}.
[/mm]
Nun gut, also meine Überlegungen:
Die Gleichung p(-x)=p(x) erfüllen ja alle Achsensymmetrishen Polynome des Grades (gerader Exponent). Also [mm] x^{2},x^{4}, [/mm] aber ich finde auch [mm] x^{0}=1 [/mm] gehört dazu:
Nun muss man ja die UVR Axiome durchgehen:
1) Abgeschlossen gegenüber der Addition:
Ich hab da das Problem, wie schreibe ich das genau auf ?
[mm] (-x)^{2}+(-x)^{2}=x^{2}+x^{4} \in [/mm] sei [mm] \produkt_{4}
[/mm]
[mm] (-x)^{0}+(-x)^{4}=1+x^{4} \in [/mm] sei [mm] \produkt_{4}
[/mm]
[mm] (-x)^{2}+(-x)^{0}=x^{2}+1 \in [/mm] sei [mm] \produkt_{4}
[/mm]
2) Abgeschlossen gegenüber Multiplikation:
a [mm] \in \IR
[/mm]
[mm] a*(-x)^{2}=a*(x)^{2} \in \produkt_{4}
[/mm]
[mm] a*(-x)^{4}=a*(x)^{4} \in \produkt_{4}
[/mm]
[mm] a*(-x)^{0}=a*(x)^{0} \in \IR [/mm] ????
3) Nullvektor: lass ich mal eben raus
So nun zu der b)
Ich muss ja eine Basis raten, und dann überprüfen (lin.unabh.+ Erzeugendensystem).
Ich dachte jetzt einfach, dass eine Basis durch [mm] 1,0,x^{2},0,x^{4} [/mm] gegeben sei, aber die sind ja gar net linear unabhängig:
(Die a's müßten natürlich noch Indizes haben)
[mm] a*1+a*0+a*x^{2}+a*0+a*x^{4}=0
[/mm]
= [mm] a+a*x^{2}+a*x^{4}=0
[/mm]
Damit die nun lin.unabhängig wären, dürfte sich der Nullvektor ja nur mit a=0 darstellen lassen, aber ich kann doch die Gleichung auch mit:
[mm] 1+1*1^{2}+(-2)*1^{4}=0 [/mm] lösen.. ?
1+1-2=0
Falscher Ansatz ?????
Und eben noch 'ne andere Frage (ich wollte kein extra Thema dafür aufmachen: Wie kann ich die Konvergenz von [mm] \wurzel[n]{n!} [/mm] bestimmen ?
Ich denk mal der Ausdruck ist divergent, aber wie zeigt man das ?
Ich kann das ja immer splitten in n Wurzel aus n * n Wurzel aus (n-1) * n Wurzel aus (n-2) usw... Aber konvergiert das nicht immer gegen 1 ?
Danke
Faenôl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:10 Sa 20.11.2004 | | Autor: | zzm |
Auf der einen Seite konvergiert n-te Wurzel von n bzw. von n-1, n-2 immer gegen 1. Jedoch musst du berücksichtigen, dass es mit steigendem n immer mehr solche Faktoren gibt. Deswegen divergiert diese Folge (was eine kurze Proberechnung mit einem Taschenrechner bestätigt).
Versuche mal n! nach unten abzuschätzen, also einen Term in Abh. von n finden, der immer kleiner als n! ist.
Wenn dann die n-te Wurzel dieses Terms divergiert, divergiert natürlich dann auch die n-te Wurzel von n!
Kurzer Hinweis zur Überprüfung, ob Funktionen linear unabhängig sind:
Wenn zwei Funktionen linear abhängig sind müssen für alle(!) x-Werte die gleichen Parameter herauskommen, so dass die Kombination der beiden Funktionen die Nullfunktion ergibt. Du hast nur den Wert x=1 gewählt und dafür Parameter 1, 1, -2 bekommen. Für x=2 liefern diese Parameter schon nicht mehr den Nullvektor.
Du musst nämlich die Funktion als ein(!) Element des Vektorraums betrachten.
Zu mehr bin ich gerade nicht im Stande, 
wünsche ne gute Nacht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:01 Sa 20.11.2004 | | Autor: | Faenol |
Hi !
> Kurzer Hinweis zur Überprüfung, ob Funktionen linear
> unabhängig sind:
> Wenn zwei Funktionen linear abhängig sind müssen für
> alle(!) x-Werte die gleichen Parameter herauskommen, so
> dass die Kombination der beiden Funktionen die Nullfunktion
> ergibt. Du hast nur den Wert x=1 gewählt und dafür
> Parameter 1, 1, -2 bekommen. Für x=2 liefern diese
> Parameter schon nicht mehr den Nullvektor.
> Du musst nämlich die Funktion als ein(!) Element des
> Vektorraums betrachten.
Danke für den Hinweis !
HMM, daran hatte ich gar net gedacht ! *g*
Das heißt doch dann, dass die Vektoren lin. unabhängig sind.
Ist denn die Idee, das das eine Basis sein könnte, richtig ?
Wenn ich doch jetzt noch beweise, dass sich jeder Vektor aus [mm] \produkt_{4}^{+} [/mm] mithilfe dieser Vektoren darstellen lässt, dann ist es doch eine Basis.
Aber der UVR [mm] produkt_{4}^{+} [/mm] besteht doch eigentlich nur aus diesen Vektoren !
a) [mm] x^{1} [/mm] und [mm] x^{3} [/mm] sind ja gar nicht in dem UVR.
b) Der Grad ist ja beschränkt, von daher spielt es doch gar keine Rolle,dass ich mit [mm] x^{4}*x^{2}=x^{6} [/mm] wieder einen Ausdruck habe, der p(-x)=p(x) erfüllt ?
Ich mein, es ist doch klar, dass ich mit dem Vektor [mm] x^{2} [/mm] den Vektor [mm] x^{2} [/mm] darstellen kann.
Oder wie schreibt man das nun ? *bissle verwirrt*
Zu der n Wurzel:
HMM, wie fange ich denn da an mit dem Abschätzen ?
Muss ich das mit der Epsilontik machen ? *lieb schau*
Danke
Faenôl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:12 Di 23.11.2004 | | Autor: | zwerg |
Moin Faenol!
Ich denke
[mm] 3\vektor{\bruch{n}{3}}^{n}\le n!\le2\vektor{\bruch{n}{2}}^{n}
[/mm]
könnte eine Abschätzung sein, die du gebrauchen kannst. Doch hast du damit das Problem, die Gültigkeit der Abschätzung zeigen zu müssen.
Divergente Folgen haben doch aber die Eigenschaft nicht beschränkt zu sein.
Der einfachere Weg ist also die Unbeschränktheit von [mm] \wurzel[n]{n!} [/mm] zu zeigen.
Das machst du am besten mit einem Widerspruchsbeweis der Art:
Annahme [mm] \wurzel[n]{n!} [/mm] beschränkt:
[mm] \to
[/mm]
[mm] \wurzel[n]{n!}\le [/mm] k
dann aber auch
[mm] \wurzel[n+1]{(n+1)!}\le [/mm] k
[mm] \to
[/mm]
zu zeigen:
[mm] n!\le k^{n} \forall n\in\IN
[/mm]
Induktionsbeweis ergibt Widerspruch
also [mm] \wurzel[n]{n!} [/mm] nicht beschränkt [mm] \to\wurzel[n]{n!} [/mm] divergent
alle Klarheiten beseitigt?
MfG zwerg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:27 Di 23.11.2004 | | Autor: | Faenol |
Ganz kurz und knapp !
Ja, alles klar ! Danke ! *g*
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