Polynomringe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Betrachte den Ring R der rationalwertigen Polynome ohne lineares Glied, d.h. [mm] $R=\lbrace f(x)=\sum [/mm] ^n _{i=0} [mm] a_i x^i ~\in \IQ[x] ~|~a_1=0\rbrace$.
[/mm]
Zeige, dass in R die Polynome [mm] $x^5$ [/mm] und [mm] $x^6$ [/mm] keinen größten gemeinsamen Teiler haben.
|
Hallo,
Also erstens verstehe ich die Aufgabenstellung nicht hundertprozentig, was bedeutet in diesem Fall "keinen größten gemeinsamen Teiler"? Dass die Polynome teilerfremd sind ?
Ansonsten sieht mein Ansatz in etwa so aus:
In [mm] $\IQ[x]$ [/mm] teilt [mm] $x^5$ [/mm] das Polynom [mm] $x^6$, [/mm] d.h. [mm] $ggT(x^5,x^6)=x^5$. [/mm] Allerdings ist auch [mm] $x^6=x \cdot x^5$ [/mm] und das funktioniert in R nicht mehr, da $x [mm] \notin [/mm] R$. Deswegen ist [mm] $x^5 \not| x^6$ [/mm] und es gilt [mm] $ggT(x^5 [/mm] , [mm] x^6) [/mm] = 1$.
Ich bin mir ziemlich unsicher, ob das so klargeht, ehrlich gesagt bezweifel ich es stark.
Über Erläuterungen würde ich mich freuen!!
Danke,
Ole
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:09 Sa 15.12.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
