Polynomring, Untervektorräume < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:43 Fr 29.06.2012 | | Autor: | mesmo |
| Aufgabe | Sei d ≥ 2 und
R [x] ≤ d = { f ∈ R [x] | deg f ≤ d }
der Vektorraum der Polynome vom Grad ≤ d. Prüfen Sie, ob die folgenden
Teilmengen Untervektorräume von R [x]≤ d sind:
U1 = { f ∈ R [x]≤ d | f (0) = 0 }
U2 = { f ∈ R [x]≤ d | f (0) = 1 }
U3 = { f ∈ R [x]≤ d | f (1) = 0 }
U4 = { f ∈ R [x]≤ d | f′(0) + f′′(0) = 0 }
U5 = { f ∈ R [x]≤ d | f′(0) · f′′(0) = 0 }
Bestimmen Sie bei den Untervektorräumen aus Aufgabe 3 jeweils eine Basis. |
Die Aufgabe steht oben.
Mein Ansatz für den ersten Teil war:
Prüfe ob die Teilmengen Untervektorräume sind:
U2) f(0)=1
i) es ist nicht leer, da es sicher die 0 enthält
ii) f(0)=g(0)=1 d.h. (f+g)(0)=f(0)+g(0)=1+1=2 =>f+g € U
iii) p€IR: (p*f)(0)=p*f(0)=p*1 =>p*f € U
U3) f(1)=0
i) es ist nicht leer, da es sicher die 0 enthält
ii) f(1)=g(1)=0 d.h. (f+g)(1)=f(1)+g(1)=0+0=0 =>f+g € U
iii) p€IR: (p*f)(1)=p*f(1)=p*0=0 =>p*f € U
so mache ich es auch für U2, bei U4 bin ich mir nicht ganz sicher.
Ist dieser Ansatz richtig?
Wie kann ich die Basis daraus berechnen?
Danke im Voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:52 Fr 29.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> Sei d ≥ 2 und
> R [x] ≤ d = { f ∈ R [x] | deg f ≤ d }
> der Vektorraum der Polynome vom Grad ≤ d. Prüfen Sie,
> ob die folgenden
> Teilmengen Untervektorräume von R [x]≤ d sind:
> U1 = { f ∈ R [x]≤ d | f (0) = 0 }
> U2 = { f ∈ R [x]≤ d | f (0) = 1 }
> U3 = { f ∈ R [x]≤ d | f (1) = 0 }
> U4 = { f ∈ R [x]≤ d | f′(0) + f′′(0) = 0 }
> U5 = { f ∈ R [x]≤ d | f′(0) · f′′(0) = 0 }
>
> Bestimmen Sie bei den Untervektorräumen aus Aufgabe 3
> jeweils eine Basis.
> Die Aufgabe steht oben.
> Mein Ansatz für den ersten Teil war:
> Prüfe ob die Teilmengen Untervektorräume sind:
>
> U2) f(0)=1
> i) es ist nicht leer, da es sicher die 0 enthält
Nein. Das Nullpolynom nimmt nicht den Wert 1 an !
> ii) f(0)=g(0)=1 d.h. (f+g)(0)=f(0)+g(0)=1+1=2 =>f+g € U
Hä ? Es ist doch (f+g)(0)=2 [mm] \ne [/mm] 1. !
> iii) p€IR: (p*f)(0)=p*f(0)=p*1 =>p*f € U
Für p [mm] \ne [/mm] 1 ist p*1 [mm] \ne [/mm] 1 !!!
>
> U3) f(1)=0
> i) es ist nicht leer, da es sicher die 0 enthält
> ii) f(1)=g(1)=0 d.h. (f+g)(1)=f(1)+g(1)=0+0=0 =>f+g € U
> iii) p€IR: (p*f)(1)=p*f(1)=p*0=0 =>p*f € U
Das ist O.K.
>
> so mache ich es auch für U2
[mm] U_2 [/mm] hast Du doch oben bearbeitet ?
FRED
> , bei U4 bin ich mir nicht ganz
> sicher.
>
> Ist dieser Ansatz richtig?
> Wie kann ich die Basis daraus berechnen?
>
> Danke im Voraus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:03 Fr 29.06.2012 | | Autor: | mesmo |
> > ii) f(0)=g(0)=1 d.h. (f+g)(0)=f(0)+g(0)=1+1=2 =>f+g € U
>
> Hä ? Es ist doch (f+g)(0)=2 [mm]\ne[/mm] 1. !
>
Der Exponent ändert sich ja nicht, deshalb ist es doch Element von U oder?
> > iii) p€IR: (p*f)(0)=p*f(0)=p*1 =>p*f € U
>
> Für p [mm]\ne[/mm] 1 ist p*1 [mm]\ne[/mm] 1 !!!
Gleiche Begründung: Exponent bleibt gleich
> > U3) f(1)=0
> > i) es ist nicht leer, da es sicher die 0 enthält
> > ii) f(1)=g(1)=0 d.h. (f+g)(1)=f(1)+g(1)=0+0=0 =>f+g €
> U
> > iii) p€IR: (p*f)(1)=p*f(1)=p*0=0 =>p*f € U
>
> Das ist O.K.
>
>
> >
> > so mache ich es auch für U2
>
> [mm]U_2[/mm] hast Du doch oben bearbeitet ?
Ich meinte U1 mache ich analog zu U3. Habe mich total vertippt.
schon mal Danke
>
> FRED
> > , bei U4 bin ich mir nicht ganz
> > sicher.
> >
> > Ist dieser Ansatz richtig?
> > Wie kann ich die Basis daraus berechnen?
> >
> > Danke im Voraus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:06 Fr 29.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> > > ii) f(0)=g(0)=1 d.h. (f+g)(0)=f(0)+g(0)=1+1=2 =>f+g € U
> >
> > Hä ? Es ist doch (f+g)(0)=2 [mm]\ne[/mm] 1. !
> >
> Der Exponent ändert sich ja nicht
Welcher Exponent ?
> , deshalb ist es doch
> Element von U oder?
Nein. Jedes f [mm] \in U_2 [/mm] hat die Eigenschaft: f (0) = 1
> > > iii) p€IR: (p*f)(0)=p*f(0)=p*1 =>p*f € U
> >
> > Für p [mm]\ne[/mm] 1 ist p*1 [mm]\ne[/mm] 1 !!!
>
> Gleiche Begründung: Exponent bleibt gleich
????
FRED
> > > U3) f(1)=0
> > > i) es ist nicht leer, da es sicher die 0 enthält
> > > ii) f(1)=g(1)=0 d.h. (f+g)(1)=f(1)+g(1)=0+0=0 =>f+g
> €
> > U
> > > iii) p€IR: (p*f)(1)=p*f(1)=p*0=0 =>p*f € U
> >
> > Das ist O.K.
> >
> >
> > >
> > > so mache ich es auch für U2
> >
> > [mm]U_2[/mm] hast Du doch oben bearbeitet ?
> Ich meinte U1 mache ich analog zu U3. Habe mich total
> vertippt.
>
> schon mal Danke
> >
> > FRED
> > > , bei U4 bin ich mir nicht ganz
> > > sicher.
> > >
> > > Ist dieser Ansatz richtig?
> > > Wie kann ich die Basis daraus berechnen?
> > >
> > > Danke im Voraus
> >
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:14 Fr 29.06.2012 | | Autor: | mesmo |
> > > > ii) f(0)=g(0)=1 d.h. (f+g)(0)=f(0)+g(0)=1+1=2 =>f+g € U
> > >
> > > Hä ? Es ist doch (f+g)(0)=2 [mm]\ne[/mm] 1. !
> > >
> > Der Exponent ändert sich ja nicht
>
> Welcher Exponent ?
Ich dachte wenn die Operation den Grad des Polynoms nicht ändert, dann ist es richtig. Aber ich muss es wohl falsch verstanden haben.
Du meinst also U2 gilt nicht, ist es so richtig:
U2) f(0)=1
i) es ist nicht leer, da es sicher die 0 enthält
ii) f(0)=g(0)=1 d.h. (f+g)(0)=f(0)+g(0)=1+1=2 [mm] \not=1 [/mm] =>f+g [mm] \not\in [/mm] U
iii) p€IR: (p*f)(0)=p*f(0)=p*1, wenn p [mm] \not=1 [/mm] ist, dann gilt es wohl auch nicht =>p*f [mm] \not\in [/mm] U ??
>
> > , deshalb ist es doch
> > Element von U oder?
>
> Nein. Jedes f [mm]\in U_2[/mm] hat die Eigenschaft: f (0) = 1
>
> > > > iii) p€IR: (p*f)(0)=p*f(0)=p*1 =>p*f € U
> > >
> > > Für p [mm]\ne[/mm] 1 ist p*1 [mm]\ne[/mm] 1 !!!
> >
> > Gleiche Begründung: Exponent bleibt gleich
>
> ????
Kannst du mir in Bezug auf Basis mir weiterhelfen?
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Hallo,
geklärt werden soll, ob
[mm] U_2:= [/mm] { f ∈ R [x]≤ d | f (0) = 1 }
ein UVR des Vektorraumes der Polynome vom Höchstgrad d ist.
Zu prüfen ist dafür, ob die Unterraumkriterien gelten.
> Du meinst also U2 gilt nicht, ist es so richtig:
> U2) f(0)=1
> i) es ist nicht leer, da es sicher die 0 enthält
Was meinst Du damit?
Das Nullpolynom ist ganz sicher nicht in [mm] U_2. [/mm] (Und damit ist "UVR" schon gestorben.)
> ii) f(0)=g(0)=1 d.h. (f+g)(0)=f(0)+g(0)=1+1=2 [mm]\not=1[/mm]
> =>f+g [mm]\not\in[/mm] U
Genau.
Gib hier für f und g zwei konkrete Polynome an, damit Du ein hieb- und stichfestes Gegenbeispiel hast.
Damit kannst du eigentlich aufhören und brauchst über iii) nicht mehr naczudenken.
> iii) p€IR: (p*f)(0)=p*f(0)=p*1, wenn p [mm]\not=1[/mm] ist, dann
> gilt es wohl auch nicht =>p*f [mm]\not\in[/mm] U ??
Ja. Auch hier: konkretes Gegenbeispiel angeben!
LG Angela
> >
> > > , deshalb ist es doch
> > > Element von U oder?
> >
> > Nein. Jedes f [mm]\in U_2[/mm] hat die Eigenschaft: f (0) = 1
> >
> > > > > iii) p€IR: (p*f)(0)=p*f(0)=p*1 =>p*f € U
> > > >
> > > > Für p [mm]\ne[/mm] 1 ist p*1 [mm]\ne[/mm] 1 !!!
> > >
> > > Gleiche Begründung: Exponent bleibt gleich
> >
> > ????
> Kannst du mir in Bezug auf Basis mir weiterhelfen?
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:47 Fr 29.06.2012 | | Autor: | mesmo |
Danke Angela,
Da dort null eingesetzt ist, dachte ich null wäre ebenfalls enthalten.
Kannst du mir vielleicht das Verfahren(ein Ansatz) zur Berechnung der Basis sagen.
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> Danke Angela,
>
> Da dort null eingesetzt ist, dachte ich null wäre
> ebenfalls enthalten.
Hallo,
ich glaube, Du hast überhaupt nicht verstanden, worum es geht.
[mm] \IR[x]_{\le d} [/mm] enthält Polynome, und alle Mengen [mm] U_i, [/mm] die Du in der Aufgabe betrachten sollst, sind Mengen, die gewisse Polynome enthalten.
In der Menge [mm] U_2 [/mm] sind die Polynome enthalten, deren Funktionswert an der Stelle 0 gerade 1 ist.
Z.B. sind [mm] f(x):=5x^d+6x+1 [/mm] und g(x):= [mm] x^2+x+1 [/mm] und h(x):=1 enthalten, aber nicht n(x):=0.
>
> Kannst du mir vielleicht das Verfahren(ein Ansatz) zur
> Berechnung der Basis sagen.
Für [mm] U_2 [/mm] wirst Du, da es kein VR ist, keine Basis angeben können.
Oder worum geht es konkret?
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:11 Fr 29.06.2012 | | Autor: | mesmo |
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> > Danke Angela,
> >
> > Da dort null eingesetzt ist, dachte ich null wäre
> > ebenfalls enthalten.
>
> Hallo,
>
> ich glaube, Du hast überhaupt nicht verstanden, worum es
> geht.
Da hast du Recht. Ich sitze seit gestern an der Aufgabe und konnte leider von google nicht viel lernen. Ich werde mich über das Wochenende damit weiterbeschäftigen.
>
> [mm]\IR[x]_{\le d}[/mm] enthält Polynome, und alle Mengen [mm]U_i,[/mm] die
> Du in der Aufgabe betrachten sollst, sind Mengen, die
> gewisse Polynome enthalten.
>
> In der Menge [mm]U_2[/mm] sind die Polynome enthalten, deren
> Funktionswert an der Stelle 0 gerade 1 ist.
> Z.B. sind [mm]f(x):=5x^d+6x+1[/mm] und g(x):= [mm]x^2+x+1[/mm] und h(x):=1
> enthalten, aber nicht n(x):=0.
OK. Das habe ich jetzt verstanden. Beispiele sind viel verständlicher als die blöde Def.
>
> >
> > Kannst du mir vielleicht das Verfahren(ein Ansatz) zur
> > Berechnung der Basis sagen.
>
> Für [mm]U_2[/mm] wirst Du, da es kein VR ist, keine Basis angeben
> können.
> Oder worum geht es konkret?
Ich meine allg. Wie gehe ich bei einen Polynomring vor, wenn ich eine Basis berechnen will? Welche Verfahren wende ich nacheinander an?
Danke nochmal
>
> LG Angela
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> Ich meine allg. Wie gehe ich bei einen Polynomring vor,
> wenn ich eine Basis berechnen will?
Hallo,
ein Ring hat keine Basis...
Aber ich verstehe, was Du eigentlich fragen wolltest: wie man eine Basis eines vorgegebenen Unterraumes des VRes der Polynome finden kann.
Du mußt Dir zunächst einen Eindruck davon verschaffen, wie die Polynome gemacht sind, die in Deiner Menge sind.
Dann kannst Du versuchen, ein Erzeugendensystem zu finden, von welchem Du im Anschluß im Idealfall nachweist, daß es linear unabhängig ist. Ansonsten wirfst Du so lange Vektoren aus dem Erzeugendensystem raus, bis Du ein linear unabhängiges Erzeugendensystem hast.
Ich mache das an der Menge [mm] U_3, [/mm] deren UVR-Eigenschaft bereits nachgewiesen wurde, vor:
In [mm] U_3 [/mm] sind die Polynome vom Höchstgrad d, deren Funktionswert an der Stelle 1 gerade =0 ist.
Wie sehen diese Polynome aus? Ist f [mm] \in \IR[x]_{\le d}, [/mm] so kann man f schreiben als [mm] f(x):=\summe_{k=0}^da_kx^k.
[/mm]
Ist [mm] f\in U_3, [/mm] so ist f(1)=0, also [mm] 0=\summe_{k=0}^da_k [/mm] <==> [mm] a_0=-\summe_{k=1}^da_k.
[/mm]
Also sieht f so aus:
[mm] f(x)=a_dx^d+a_{d-1}x^{d-1}+...+a_1x^1-(\summe_{k=1}^da_k)
[/mm]
[mm] =a_d(x^d-1)+a_{d-1}(x^{d-1}-1)+...+a_1(x-1).
[/mm]
Offensichtlich ist [mm] (x^d-1, x^{d-1}-1, [/mm] ...,x-1) ein Erzeugendensystem,
und ebenso offensichtlich ist dieses Erzeugendensystem linear unabhängig. Also ist eine Basis von [mm] U_3 [/mm] gefunden.
(Wenn Dir das "Offensichtliche" nichtoffensichtlich ist, mußt Du gründlich drübernachdenken bzw. es nachweisen. Man muß das können!)
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:59 Fr 29.06.2012 | | Autor: | mesmo |
Super erklärt. Jetzt sitzen alle Bruchstücke aus anderen Internetseiten zusammen.
Danke dir viel mals.
schöne Grüße,
Mesmo
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