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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:31 So 21.04.2013 | | Autor: | nbt |
| Aufgabe | | Sei [mm]R[T]=R^{(\IN)}[/mm] die Menge aller Folgen [mm](a_i)_{i\in\IN}[/mm] mit [mm]a_i=0[/mm] für fast alle [mm]i\in\IN[/mm]. Die Multiplikation dieser Folgen sei definiert durch: [mm](a_i)_{i\in\IN}(b_i)_{i\in\IN}:=(c_i)_{i\in\IN}, c_i:=\summe_{i=\mu+\nu}a_{\mu}b_{\nu}=\summe_{\mu=0}^{i}a_{\mu}b_{i-\mu}[/mm] |
Hi,
wir machen grade am Anfang von der Linearen Algebra 2 die Polynomringe. [mm]R^{\IN}[/mm] bildet noch mit der Addition, die kanonisch definiert ist , einen kommutativen Ring mit Eins.
Nun zu meiner Frage: Ich versteh die Definition der Multiplikation nicht so ganz. Wie kommt der Schritt [mm]\summe_{i=\mu+\nu}a_{\mu}b_{\nu}=\summe_{\mu=0}^{i}a_{\mu}b_{i-\mu}[/mm] zustande?
Sind zum Beispiel
[mm](a_i)_{i\in\IN}:=(1,2,3,0,0,...)[/mm] und
[mm](b_i)_{i\in\IN}:=(4,5,6,0,0,...) [/mm] gegeben. Dann ist nach obiger Def
[mm](c_i)_{i\in\IN}:=(1*5+2*4,1*6+2*5+3*4,...)[/mm]
Das kommt mir nicht gerade intuitiv vor und ich versteh nicht, wozu man das so definieren muss.
Danke für die Hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:43 So 21.04.2013 | | Autor: | valoo |
Hallo!
> Sei [mm]R[T]=R^{(\IN)}[/mm] die Menge aller Folgen [mm](a_i)_{i\in\IN}[/mm]
> mit [mm]a_i=0[/mm] für fast alle [mm]i\in\IN[/mm]. Die Multiplikation dieser
> Folgen sei definiert durch:
> [mm](a_i)_{i\in\IN}(b_i)_{i\in\IN}:=(c_i)_{i\in\IN}, c_i:=\summe_{i=\mu+\nu}a_{\mu}b_{\nu}=\summe_{\mu=0}^{i}a_{\mu}b_{i-\mu}[/mm]
>
> Hi,
> wir machen grade am Anfang von der Linearen Algebra 2 die
> Polynomringe. [mm]R^{\IN}[/mm] bildet noch mit der Addition, die
> kanonisch definiert ist , einen kommutativen Ring mit
> Eins.
> Nun zu meiner Frage: Ich versteh die Definition der
> Multiplikation nicht so ganz. Wie kommt der Schritt
> [mm]\summe_{i=\mu+\nu}a_{\mu}b_{\nu}=\summe_{\mu=0}^{i}a_{\mu}b_{i-\mu}[/mm]
> zustande?
Meinst du warum das das gleiche ist? Nun auf der linken Seite steht die Summe aller mit einander multiplizierten Folgenglieder, deren Indizes sich zu i summieren, wenn du genau hinsiehst, steht rechts das gleiche. Oder fragst du dich warum man das so definiert? Betrachte zu einer Folge [mm] (a_{0},a_{1},...) [/mm] den Ausdruck [mm] a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+...
[/mm]
Dann macht diese Definition schon Sinn. Wenn man zwei Ausdrücke dieser Art multipliziert, dann kriegt man den Koeffizienten vor [mm] X^{i}, [/mm] indem man sich anguckt, welche Terme sich zu einem Term in i-ter Potenz multiplizieren und sieht, dass man alle nimmt, Koeffizienten nimmt, deren Index sich zu i summieren und muss dann die Summe über all jene bilden.
> Sind zum Beispiel
> [mm](a_i)_{i\in\IN}:=(1,2,3,0,0,...)[/mm] und
> [mm](b_i)_{i\in\IN}:=(4,5,6,0,0,...)[/mm] gegeben. Dann ist nach
> obiger Def
> [mm](c_i)_{i\in\IN}:=(1*5+2*4,1*6+2*5+3*4,...)[/mm]
> Das kommt mir nicht gerade intuitiv vor und ich versteh
> nicht, wozu man das so definieren muss.
> Danke für die Hilfe
Da hast du was falsch gemacht. Zu 0 summiert sich nur 0+0, sodass dort an erster Stelle zum Beispiel [mm] 1\cdot 4 = 4 [/mm] stehen müsste.
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