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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:35 Mi 13.12.2006 | | Autor: | VHN |
| Aufgabe | (a) Seien f,g [mm] \in [/mm] K[X] Polynome vom Grad [mm] n\ge0 [/mm] und [mm] a_{1}, [/mm] ..., [mm] a_{n}, a_{n+1} [/mm] verschiedene Elemente aus dem Körper K.
zu zeigen: Gilt [mm] f(a_{i}) [/mm] = [mm] g(a_{i}) [/mm] für alle 1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] n+1, so folgt f=g.
gilt dies auch, wenn [mm] f(a_{i}) [/mm] = [mm] g(a_{i}) [/mm] für alle 1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] n?
(b) Sei p eine Primzahl und K der endliche Körper [mm] \IZ/(p). [/mm]
Zeige, dass in K[X]
[mm] X^{p}-X [/mm] = [mm] \produkt_{a \in K}^{} [/mm] (X-a) gilt.
Hinweis: Zeige zuerst, dass [mm] a^{p-1}=1 [/mm] für alle [mm] 0\not=a \in [/mm] K = [mm] \IZ/(p) [/mm] gilt. |
Hallo Forenmitglieder!
Ich habe beim Lösen dieser Aufgaben einige Probleme.
Ich hoffe, ihr könnt mir weiterhelfen.
zur (a):
Sei [mm] f=\summe_{k=0}^{n} b_{k}X^{k} [/mm] und [mm] g=\summe_{l=0}^{m} c_{l}X^{l}.
[/mm]
Ich beweise die aussage mithilfe von Induktion über n:
Induktionsanfang: n=0.
Es gelte [mm] f(a_{1}) [/mm] = [mm] g(a_{1}) [/mm] für alle 1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] 0+1=1, also i=1, da [mm] f(a_{1})=\summe_{k=0}^{n} b_{k}a_{1}^{k} [/mm] und [mm] g(a_{1})=\summe_{l=0}^{m} c_{l}a_{1}^{l}.
[/mm]
Setze einfach [mm] b_{k}=c_{l} [/mm] für k,l [mm] \ge [/mm] 0. dann gilt f=g.
Induktionsvoraussetzung: Es gelte die Behauptung für alle 1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] n+1.
Induktionsschritt: n -> n+1
Es soll also [mm] f(a_{i}) [/mm] = [mm] g(a_{i}) [/mm] für alle 1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] (n+1)+1=n+2 gelten.
Es muss also auch gelten: [mm] f(a_{n+2}) [/mm] = [mm] g(a_{n+2}).
[/mm]
[mm] f(a_{n+2}) [/mm] ist doch [mm] \summe_{k=0}^{n} b_{k}a_{n+2}^{k}.
[/mm]
aber wie kann ich jetzt hier mithilfe der IV zeigen, dass der schritt stimmt?
ich würde hier wieder einen koeffizientenvergleich machen.
ich weiß hier nicht weiter. macht man den beweis überhaupt mit induktion? wenn ja, wie kann ich den IS machen?
Und warum sollte das für [mm] f(a_{i}) [/mm] = [mm] g(a_{i}) [/mm] für alle 1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] n nicht gelten? da n [mm] \le [/mm] n+1 ist.
diese aussage verwirrt mich ein wenig.
Was steckt hinter dieser Aussage? ich nehme an, dass die antwort nicht ganz so trivial ist.
zur (b):
Ich habe zunächst versucht zu zeigen, dass [mm] a^{p-1} [/mm] = 1 ist für alle a [mm] \in [/mm] K mit [mm] a\not=0.
[/mm]
es gilt doch: [mm] a^{p-1} [/mm] = [mm] \bruch{a^{p}}{a} [/mm] = 1, also [mm] a^{p}=a.
[/mm]
das gilt doch, wenn a = 0 ist, oder?
aber ich verstehe nicht, wie mir das helfen soll, die aussage zu beweisen?
verstehe ich das richtig, dass [mm] X^{p}-X [/mm] hier faktoriell in lineare faktoren von grad 1 zerlegt wird?
Ich hoffe, ihr könnt mir hinweise oder tipps geben, wie ich die aufgabe lösen kann.
vielen danke!
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Hallo VHN,
> (a) Seien f,g [mm]\in[/mm] K[X] Polynome vom Grad [mm]n\ge0[/mm] und [mm]a_{1},[/mm]
> ..., [mm]a_{n}, a_{n+1}[/mm] verschiedene Elemente aus dem Körper K.
> zu zeigen: Gilt [mm]f(a_{i})[/mm] = [mm]g(a_{i})[/mm] für alle 1 [mm]\le[/mm] i [mm]\le[/mm]
> n+1, so folgt f=g.
> gilt dies auch, wenn [mm]f(a_{i})[/mm] = [mm]g(a_{i})[/mm] für alle 1 [mm]\le[/mm] i
> [mm]\le[/mm] n?
> (b) Sei p eine Primzahl und K der endliche Körper [mm]\IZ/(p).[/mm]
> Zeige, dass in K[X]
> [mm]X^{p}-X[/mm] = [mm]\produkt_{a \in K}^{}[/mm] (X-a) gilt.
> Hinweis: Zeige zuerst, dass [mm]a^{p-1}=1[/mm] für alle [mm]0\not=a \in[/mm]
> K = [mm]\IZ/(p)[/mm] gilt.
Es gilt ja [mm] $f(a_{i})=g(a_{i}) \folgt 0=f(a_{i}-g(a_{i})=(f-g)(a_{i}) \quad \forall [/mm] 1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] n+1$. Damit sind die [mm] $x-a_{i}$ [/mm] Teiler von $f-g$. Also teilt auch das Produkt der [mm] $x-a_{i}$ [/mm] das Polynom $f-g$ (warum?). Jetzt vergleich mal die Grade von Zähler und Nenner; was folgt daraus für $f-g$ (Division mit Rest)?
> Und warum sollte das für [mm]f(a_{i})[/mm] = [mm]g(a_{i})[/mm] für alle 1 [mm]\le[/mm]
> i [mm]\le[/mm] n nicht gelten? da n [mm]\le[/mm] n+1 ist.
> diese aussage verwirrt mich ein wenig.
> Was steckt hinter dieser Aussage? ich nehme an, dass die
> antwort nicht ganz so trivial ist.
Ich weiß nicht, obs weiterhilft, aber Du brauchst z.B. 3 Punkte, um in der Ebene eine Parabel eindeutig festzulegen. Als Beispiel: $f(x)=(x-1)(x-3)$, $g(x)=f(x) -2(x-1)(x-3)$. Dann gilt $f(1)=g(1), f(3)=g(3)$, aber $f$ und $g$ sind nicht gleich.
Mfg
zahlenspieler
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a) Betrachte das Polynom n-ten Grades (f-g). Es hat (n+1) Nullstellen [mm] a_{1}, [/mm] ..., [mm] a_{n+1}. [/mm] Folglich ist es das 0-Polynom, also f=g.
Die Argumentation klappt nicht mit n Nullstellen. (f(x)=x und g(x)=2x haben eine gemeinsame Nullstelle 0, sind aber nicht identisch.)
b) [mm] a^{p-1} \equiv [/mm] 1 (mod p) ist der bekannte (Kleine) Fermatsche Satz. Den Beweis findest du leicht in der Literatur zur elementaren Zahlentheorie.
Betrachte die Polynome [mm] f(X)=X^p-X [/mm] und [mm] g(X)=\produkt_{a\inK}(X-a). [/mm] Offensichtlich haben beide denselben Grad p. Alle Elemente in K sind Nullstellen von g. Das gilt auch für f wegen Fermat. Wende a) an.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:31 Fr 15.12.2006 | | Autor: | VHN |
Hallo otto.euler!
Vielen dank für deine antwort!
sie hat mir sehr weitergeholfen.
allerdings sind da noch einige dinge, die mir nicht ganz klar sind.
zur (a):
ist (f-g) das nullpolynom, weil es den Grad n hat, aber n+1 Nullstellen? d.h. doch, dass nur das nullpolynom mehr nullstellen haben kann als sein grad ist, oder?
zur (b):
Ich habe den beweis von fermat gefunden. danke für den hinweis.
ich glaube, ich habe es verstanden.
vielen dank für deine antwort!
schönes wochenende!
VHN
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:09 Sa 16.12.2006 | | Autor: | Binie |
Hi VHN
Zur a) jep. deine Begründung ist die richtige
Zur b) mit Fermat und dem was die anderen geschrieben haben ist die Lösung ja schon gegeben
Also fertig 
LG Binie
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Ein Polynom n-ten Grades hat über einen algebraisch abgeschlossenen Körper genau n Nullstellen. Das ist der Hauptsatz der Algebra. Falls K nicht gleich seinem algebraischer Abschluss ist, sind es weniger Nullstellen. Deshalb folgt aus dem Hauptsatz der Algebra, dass jedes Polynom n-ten Grades mit mehr als n Nullstellen nur das Polynom sein kann, das identisch Null ist. (Widerspruchsbeweis)
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