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| Aufgabe | (a)
Sei die unendlich oft stetig differenzierbare Funktion f : [a, b] → R gegeben, wobei ein M existiere,
so dass für die Ableitungen supx∈[a,b] [mm] |f^{(k)}(x)| [/mm] ≤ M für alle k = 0, 1, . . . gelte. Weiterhin sei für jedes n ∈ N eine Folge von Stützstellen
a ≤ [mm] x^{(n)}_{0} [/mm] < [mm] x^{(n)}_{1} [/mm] < . . . < [mm] x^{(n)}_{n} [/mm] ≤ b
gegeben. Bezeichne mit [mm] P_{n} [/mm] das Polynom vom Grade höchstens n, das f an den Stellen [mm] x^{(n)}_{0} [/mm] , ... , [mm] x^{(n)}_{n} [/mm] interpoliert. Konvergiert [mm] P_{n} [/mm] für n → ∞ (ohne weitere Voraussetzung über die Lage der Stützstellen)
gleichmäßig auf [a, b] gegen f?
(b) Existiert eine unendlich oft stetig differenzierbare Funtion f : R → R mit f(0) = 1 und beschränktem Träger, so dass ein M existiert mit supx∈R [mm] |f^{(k)}(x)| [/mm] ≤ M für alle k = 0, 1, . . .? |
Hallo!
Da ich lange krank war, war ich lange nicht in der Uni und jetzt versuche ich aufzuholen und bin dabei auf diese Aufgabe gestoßen.
zu (a) habe ich z.B. den Satz von Faber gefunden und natürlich die definiton für die gleichmäßige Konvergenz, aber das war es leider auch schon :(.
und bei (b) habe ich leider absolut keine idee :(
Es wäre schön, wenn jemand zumindest einen winzigkleinen Ansatz bzw Anstoß für mich hat.
Mit freundlichen Grüßen,
kleinsnoopy
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Hallo,
> (a)
> Sei die unendlich oft stetig differenzierbare Funktion f :
> [a, b] → R gegeben, wobei ein M existiere,
> so dass für die Ableitungen supx∈[a,b] [mm]|f^{(k)}(x)|[/mm] ≤
> M für alle k = 0, 1, . . . gelte. Weiterhin sei für jedes
> n ∈ N eine Folge von Stützstellen
> a ≤ [mm]x^{(n)}_{0}[/mm] < [mm]x^{(n)}_{1}[/mm] < . . . < [mm]x^{(n)}_{n}[/mm] ≤
> b
> gegeben. Bezeichne mit [mm]P_{n}[/mm] das Polynom vom Grade
> höchstens n, das f an den Stellen [mm]x^{(n)}_{0}[/mm] , ... ,
> [mm]x^{(n)}_{n}[/mm] interpoliert. Konvergiert [mm]P_{n}[/mm] für n → ∞
> (ohne weitere Voraussetzung über die Lage der
> Stützstellen)
> gleichmäßig auf [a, b] gegen f?
>
> (b) Existiert eine unendlich oft stetig differenzierbare
> Funtion f : R → R mit f(0) = 1 und beschränktem Träger,
> so dass ein M existiert mit supx∈R [mm]|f^{(k)}(x)|[/mm] ≤ M
> für alle k = 0, 1, . . .?
> Hallo!
>
> Da ich lange krank war, war ich lange nicht in der Uni und
> jetzt versuche ich aufzuholen und bin dabei auf diese
> Aufgabe gestoßen.
>
> zu (a) habe ich z.B. den Satz von Faber gefunden und
> natürlich die definiton für die gleichmäßige
> Konvergenz, aber das war es leider auch schon :(.
Benutze ![[]](/images/popup.gif) Das hier, um (möglicherweise) gleichmäßige Konvergenz zu zeigen.
> und bei (b) habe ich leider absolut keine idee :(
Bei der Aufgabe b) solltest du erstmal schauen, was überhaupt ein Träger ist und was es bedeutet, wenn der beschränkt ist. Dann musst du eben überlegen, ob es so eine Funktion geben kann.
Das ist ein Problem, was nichts mit Polynominterpolation im direkten Sinne zu tun hat.
Die Funktion muss ja in etwa so aussehen, dass sie bei 0 eben 1 ist, und dann nach links und rechts nach unten zur x-Achse läuft und dann dort "differenzierbar" zur Nullfunktion wird.
Grüße,
Stefan
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Danke schonmal.
also zu a)
Ich weiß ja an sich nichts weiter von den Stützstellen, oder kann ich einfach annehmen wenn die Anzahl größer wird und sie alle paarweise verschieden sind, dass sie dann auch immer näher aneinander liegen ?
dann wäre das mit der Norm ja erfüllt, da ja zwei direkt nebeneinanderliegende punkte quasi abstand 0 haben, oder ?
und zu b)
also der Träger einer funktion ist die Teilmenge des Definitionsbereiches auf dem die funktion ungleich 0 ist.
aber was es heißt wenn dieser beschränkt ist, kann ich grad noch nicht sehen?
eine funktion, für die f(0)=1 ist und die unendlich oft differenzierbar ist und deren ableitungen beschränkt sind ist doch z.b der Kosinus, oder ?
mfg
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Hallo,
> Danke schonmal.
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> also zu a)
>
> Ich weiß ja an sich nichts weiter von den Stützstellen,
> oder kann ich einfach annehmen wenn die Anzahl größer
> wird und sie alle paarweise verschieden sind, dass sie dann
> auch immer näher aneinander liegen ?
> dann wäre das mit der Norm ja erfüllt, da ja zwei direkt
> nebeneinanderliegende punkte quasi abstand 0 haben, oder ?
Hast du dir die Formel angeschaut, die ich dir gegeben habe?
Wir haben keine weiteren Voraussetzungen über die Stützstellen, also sind sie im schlechtesten Fall zum Beispiel alle am ganz rechten Rand von [a,b].
Wir können also nur abschätzen: [mm] $x-x_i [/mm] < b-a$.
Nun nutze die Formel:
|P(x)-f(x)| = [mm] \left|\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}*\produkt_{k=0}^{n}(x-x_{k})\right|
[/mm]
Wie lässt sich [mm] $\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}$ [/mm] abschätzen? (siehe Aufgabenstellung)
Wie lässt sich [mm] $\produkt_{k=0}^{n}(x-x_{k})$ [/mm] abschätzen? (siehe oben von mir geschriebenes)
Wenn du nun die rechte Seite so abschätzen konntest, dass keine x mehr drin vorkommen und es trotzdem gegen 0 geht für [mm] n\to\infty, [/mm] bist du fertig (gleichmäßige Konvergenz!)
Grüße,
Stefan
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Hallo!
> und zu b)
>
> also der Träger einer funktion ist die Teilmenge des
> Definitionsbereiches auf dem die funktion ungleich 0 ist.
> aber was es heißt wenn dieser beschränkt ist, kann ich
> grad noch nicht sehen?
Es bedeutet: Es gibt ein Intervall [a,b], in welchem die Funktion Werte [mm] \not= [/mm] 0 bzw. Werte = 0 annimmt. (der Träger ist beschränkt, lässt sich also als Teilmenge eines Intervalls [a,b] schreiben).
Weiter bedeutet es, dass außerhalb des Intervalls [a,b] die Funktion f überall Null ist.
> eine funktion, für die f(0)=1 ist und die unendlich oft
> differenzierbar ist und deren ableitungen beschränkt sind
> ist doch z.b der Kosinus, oder ?
Ja, schon. Aber die Funktion in der Aufgabenstellung soll ja einen beschränkten Träger besitzen. Du müsstest also den Kosinus links und rechts irgendwo abschneiden, und die Nullfunktion links und rechts dranbasteln.
Das Problem: Die durch dieses Basteln entstehende Funktion ist nicht mehr unendlich oft differenzierbar, sondern höchstens ein oder zweimal.
Entgegen meiner ersten Behauptung hat diese Aufgabe wahrscheinlich doch sehr viel mit dem in (a) bewiesenen zu tun, ich denke, die Aussage ist falsch (also es gibt keine solche Funktion).
Nimm an, es gäbe eine solche Funktion f, die unendlich oft differenzierbar ist mit gleichmäßig beschränkten Ableitungen und beschränktem Träger.
Weil der Träger beschränkt ist, gibt es ein Intervall [a,b] so, dass der Träger Teilmenge dieses Intervalls ist. Das bedeutet, die Funktion f nimmt nur auf dem Intervall [a,b] Werte ungleich 0 an. Wir wissen aber: Es gibt einen x-Wert (nämlich x = 0), bei dem die Funktion ungleich Null ist, nämlich f(0) = 1.
Eventuell kann man jetzt einen Widerspruch erzeugen, wenn man (a) geeignet anwendet.
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:01 Do 24.06.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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